5. Деякі закони розподілу нвв

5.1. Нормальний закон розподілу

Def. 5.1 ВВ називається розподіленою за нормальним законом, якщо її диференціальна функція розподілу має вигляд:

(5.1)

Це функція Гаусса, властивості якої ми розглядали ранише.

Встановимо зміст параметрів цієї функції. Для цього обчислимо її числові характеристики.

Вплив параметрів на поведінку кривої Гаусса (колокол).

Нормована функція Гаусса: :

(5.2)

Знайдемо ІФР:

(5.3)

де - функція Лапласа.

Імовірність влучення у інтервал:

(5.4)

або

(5.5)

Імовірність відхилення від математичного сподівання:

(5.6)

Правило 3-х :

(5.7)

Якщо виконується умова (5.7), то можна вважати, що закон розподілу ВВ близький до нормального.

Приклади. 1. Нормально розподілена ВВ, . Обчислити . .

За правилом: .

2. Проводяться заміри діаметру деталі. Помилка вимірювання вважається ВВ розподіленою за нормальним законом. Систематична помилка відсутня. Дисперсія помилки . Деталь вважається бракованою, якщо відхилення від стандарту перевищує 15 мм. Знайти виготовлення не бракованої деталі.

.

5.2. Рівномірний закон розподілу.

Def. 5.2 ВВ називається розподіленою за рівномірним законом на проміжку , якщо її диференціальна функція розподілу має вигляд:

(5.8)

тобто, щільність імовірності на спектрі є сталою.

Знайдемо значення сталої з умови:…..

(5.9)

Знайдемо математичне сподівання та дисперсію.

(5.10)

,.

Приклади.

5.3 Показниковий закон.

Def. 5.3 ВВ називається розподіленою за показниковим законом, якщо її диференціальна функція розподілу має вигляд:

(5.11)

Закон визначається одним параметром (нормальний та рівномірний – двома).

Інтегральна функція розподілу:

(5.12)

Імовірність влучення у інтервал при :

Приклад. - ВВ розподілена за за показниковим законом, . Записати закони, обчислити . Оскільки то .

.

Звернути увагу на випадок, коли .

5.4. Розподілення, побудовані на основі нормального розподілу.

Степінь «свободи».

Розподіл :

(5.13)

Розподіл Фішера:

(5.14)

Розподіл Стьюдента:

(5.15)

6. Центральна гранична теорема

Теорема 6.1. Ляпунова

Якщо ВВ є сумою достатньо великої кількості взаємно незалежних ВВ, вплив кожної з яких на суму малий, то ВВ має розподіл, близький до нормального. (без доведення).

Теорема 6.2. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

При достатньо великій кількості незалежних повторних випробувань імовірність того, що частота події лежить у межах від до приблизно дорівнює:

(6.1)

де - кількість випробувань, - імовірність настання події у кожному випробуванні, імовірність протилежної події. Достатньо велика кількість: .

Приклад: У партії 500 виробів з яких 150 першого ґатунку, а решта - другого. Обчислити імовірність того, що у партії кількість виробів першого ґатунку від 140 до 170.