2. Елементи комбінаторики

Число переставлень елементів визначається за формулою:

Число розміщень із елементів по визначається за формулою:

Число сполучень із елементів по визначається за формулою:

Факторіал.

Правило добутку: при послідовному виконанні – добуток.

Правило додавання: якщо виконання однієї виключає виконання іншої, то сума.

Приклади 1) Картки «добуток» ,. 2) 25 студентів, викликають двох з порядком: . 3) 25 студентів, (10 15)обрали 5:3 парубки та 2 дівчини:

Def. 1.18 Дві події називаються незалежними, якщо імовірність настання однієї з них не залежить від того, сталася чи ні друга. У протилежному випадку вони називаються залежними.

(приклад)

Def. 1.19 Умовною імовірністю події відносно події імовірність настання події за умовою, що подія сталася. Позначається: .

Тоді незалежність:

Теорема 1.1. Імовірність добутку двох подій.

(1.6)

Частинний випадок:

(1.7)

Виходячи з асоціативної властивості добутку, теорему 1.1. можна розповсюдити на будь-яку скінчену кількості попарно незалежних випадкових подій. Так, імовірність добутку трьох подій набуває вигляду:

(1.8)

І, відповідно, для незалежних:

Приклад. 60 питань вивчив 20. Три питання у білеті.

Теорема 1.2. Імовірність суми двох подій.

(1.9)

Приклад. Два постріли.

Частинний випадок: (мал.)

(1.10)

Він розповсюджується на будь-яку скінчену кількість попарно несумісних подій, тобто....

Теорема 1.3. Сума імовірностей подій, що утворюють повну групу единоможливих подій дорівнює одиниці.

Розглянемо повну групу единоможливих подій: . Їх сума є вірогідна подія: .Тоді а, враховуючи, що ці події попарно несумісні, отримаємо твердження теореми:

(1.11)

Частинний випадок:

(1.12)

Приклад. Три студенти складають іспит. 0.3, 0.4 і 0.8.

1. Двоє склали; 2. хоча б двоє; 3. Хоча б один. Виписати повну групу подій.

Теорема 1.4. Імовірність настання хоча б однієї події із групи попарно незалежних подій дорівнює:

(1.13)

Нехай

Теорема 1.5. Формула повної імовірності.

Нехай подія може статися лише сумісно з однією з подій які утворюють повну групу единоможливих подій. Тоді повна імовірність події дорівнює:

(1.14)

де...Події називаються гіпотезами.

Приклад. Три станки, продуктивності яких відносяться як 2:5:4. Ймовірність браку на першому 0,05 на другому 0,03 на третьому 0,02. Знайти ймовірність стандартної деталі.

Теорема 1.6. Формула Байеса.

Нехай за умовою попередньої теореми подія сталася. Тоді імовірність того, що вона сталася сумісно з гіпотезою , дорівнює:

(1.15)

Приклад.