III. Рациональные числа

В кольце целых чисел деление не всегда выполнимо. В связи с этим возникает необходимость расширить кольцо целых чисел до такого множества, в котором операция сложения и умножения обладали такими же свойствами и кроме того операция умножения была бы обратима. Очевидно, что искомое множество есть поле.

Определение. Полем рациональных чисел называется минимальное поле, являющееся расширением кольца целых чисел.

Предположим, что поле Q – рациональных чисел существует. В этом поле уравнение bx = a, где a и b – любые целые числа, , должно иметь решение.

Если a делится на b, то x – целое число, если же a не делится на b, то x – элемент поля Q, не являющийся целым числом. Т.к. в любом поле уравнение bx = a при имеет единственное решение, то в поле Q элемент x должен определяться парой (a, b) целых чисел однозначно.

Пусть уравнения bx = a и dy = c, где и имеют равные решения x = y.

Пары (a, b) и (c, d) определяют одно и тоже число.

(1)

Если x и y любые элементы поля Q, то

bd(x + y) = ad + bc, т.е. сумма решений уравнений bx = a и dy = c должны определяться парой целых чисел

(ad + bc,bd) (2)

Найдем произведение элементов x и y

bdxy = ac (ac,bd) (3)

Рассмотрим множество M всевозможных пар целых чисел. (a, b) при , причем две пары (a, b) и (b,a) будем считать вообще говоря, различными. Для удобства каждую пару (a, b) целых чисел будем обозначать через , т.е. (a, b) = . Будем называть эту пару дробью.

Определение. Две дроби и называются эквивалентными тогда, и только тогда, когда ad = bc.

~  ad = bc

Следствие. Отношение эквивалентности дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно.

1. ~

2. ~ => ~

3. ~ ~ => ~

Проверим выполнение свойства 3.

ad = bc и cn = dm

and = bcn bcn = bdm => and = bdm => an = bm => ~

Следствие. Если оба компонента дроби умножить на одно и тоже целое число , то получим дробь эквивалентную дроби .

Доказательство.

abk = abk => ~

Определение. Суммой двух дробей и называется дробь , т.е.

+ =

Следствие. Если в сумме + заменить слагаемые дробями, им эквивалентными, то результат будет эквивалентен первоначальному результату.

Доказательство.

~ и ~

ab’ = b’a => ab’dd’ = a’bdd’ почленно сложим

cd’ = dc’ => cd’bb’ = dc’bb’

ab’dd’ + cd’bb’ = a’bdd’ + dc’bb’ => ~

Определение. Произведением двух дробей и называется дробь , т.е.

∙ =

Следствие. При замене обеих сомножителей дробями, эквивалентными этим сомножителям, получается результат, эквивалентный первоначальному результату.

Доказательство.

~

~ => acd’b’ = a’bc’d , т.е. ~

Отношение эквивалентности полностью определяет разбиение множества M всех дробей на классы попарно эквивалентных элементов. Класс, которому принадлежит дробь , будем обозначать через

Рассмотрим множество всех таких классов .

=  ~

Этим полностью определяется отношение равенства для элементов

Определение. Суммой двух классов из называется тот класс, которому принадлежит сумма каких-нибудь представителей слагаемых

Определение. Произведением двух классов из называется тот класс, которому принадлежат произведение каких-нибудь представителей перемножаемых классов.

Следствие. Во множестве выполняются все аксиомы поля.

1. + = = = + => + = +

2. + + = = + + =>

+ + = + +

3. Найдем решение уравнения + =

Предположим, что уравнение + = имеет решение , которое подставлено в уравнение, тогда

= => bcy + bdx = ady

bdx = (ad - bc)y => =

+ = = ~

~

Решением уравнения + = будет класс

= -

1. Нулем в этом множестве является класс , где , т.к.

+ = ~

2. Элементом, противоположным классу , будет класс , т.к. + = = ~

4. ∙ = ∙ => =

5. ∙∙ = ∙∙ => =

6. ∙ + = ∙ + ∙ => + = +

7. Уравнение = при всегда имеет решение во множестве .

Решением будет класс это следует из ∙ = ~

Сравнение классов попарно эквивалентных дробей и действия с неравенствами.

Определение. Назовем дробь положительной ( > 0), если ab > 0; нулевой ( = 0), если ab = 0; отрицательной ( < 0), если ab < 0.

Т.к. кольцо Z целых чисел расположено, то для дробей имеет место одно, и только одно, из соотношений: > 0 = 0 < 0

Определение. Класс называется положительным классом, если все его представители положительны; нулевым классом, если все представители нулевые дроби; отрицательным, если все его представители отрицательны.

Теорема. Для любого класса имеет место одно, и только одно, из свойств: - положителен, - нулевой класс, - отрицателен.

Доказательство.

Пусть и ~ => ad ~ bc => (ab)(cd) = b²c² = (bc)² > 0 (, т.к. тогда было бы c = d = 0, что следует из равенства ad = bc). Если ab > 0, то cd > 0, если ab < 0, то cb < 0. Следовательно, если в классе содержится положительная дробь, то и все представители этого класса положительны; если в содержится отрицательная дробь, то и все представители этого класса отрицательны; все нулевые дроби и только они, содержатся в одном и том же классе.

Теорема. Сумма и произведение положительных классов из положительны.

Доказательство.

Пусть и - положительные классы, т.е. ab >0 и cd > 0.

Покажем, что + = > 0 и = > 0.

Из ab > 0 cd > 0 => abd² > 0 b²cd > 0 (ad + bc)bd = abd² + b²cd > 0

(ac)(bd) = (ab)(cd) > 0

Из последних неравенств следует справедливость утверждения.

Если определить > тогда, и только тогда, когда разность

- =

положительна, то в поле будут выполнены все аксиомы расположения, т.е. поле будет расположенным полем.

Построение поля рациональных чисел.

Рассмотрим множество всех классов из , в которых содержится дробь вида , где a. Обозначим это множество . Два класса =  a = b, т.к. ~  a = b.

Этим установлено взаимнооднозначное соответствие между элементами множества и всеми числами кольца Z. Это соответствие будет изоморфным относительно сложения, умножения и отношения “больше”, установленных в этих множествах, т.к. из

+ = , = , >

всегда следуют верные соотношения a + b = c, ab = d, a > b и обратно. Следовательно существует поле Q, содержащее в себе в качестве подкольца (каждое поле есть подкольцо) кольцо целых чисел Z, причем .

Искомое поле Q строим следующим образом:

Каждый класс вида заменяем целым числом a, а все остальные элементы поля оставляем на месте. Правила сложения, умножения и сравнения по величине для чисел полученного поля Q вытекают из соответствующих правил в поле .

Элементы поля Q называют рациональными числами, а целые числа, рассматриваемые как элементы поля Q, называются целыми рациональными числами.

Отождествим в каждом классе все дроби, т.е. будем считать любые эквивалентные дроби ~ лишь различными обозначениями одного и того же рационального числа. При таком соглашении любая дробь класса будет обозначать целое число a.

Получим обычное обозначение рациональных чисел в виде дробей , где a – числитель, b – знаменатель дроби.

Определение. Две дроби и называются равными тогда, и только тогда, когда ad = bc.

= Это следствие дает возможность приведения дробей к общему знаменателю и сокращения дробей.

Сложение и умножение дробей производится по правилу

+ = ; ∙ =

Правило вычитания: - =

При сравнении дробей по величине будем всегда считать знаменатели этих дробей положительными числами

- = => >  ad > bc <  ad < bc

Минимальность поля Q следует из того, что любое поле, являющееся расширением кольца целых чисел Z, должно содержать все дроби , т.е. должно содержать в себе поле Q в качестве подполя, т.к. это поле обязано содержать решения всех уравнений вида bx = a с целыми коэффициентами, где .

Теорема. Поле рациональных чисел Q архимедовски расположено, т.е. в поле Q выполняется аксиома Архимеда.

Доказательство.

и - произвольные рациональные числа, где > 0.

1. < , то достаточно взять n = 1, т.к. >

2. , для целых чисел аксиома Архимеда выполняется.

nbc > ad => n = >

Теорема. Поле рациональных чисел Q обладает свойством плотности, т.е. между двумя произвольными различными рациональными числами заключено по меньшей мере одно рациональное число.

Доказательство.

Пусть > , где b > 0 и d > 0;

Тогда будет одним из чисел, удовлетворяющее условиям > > , т.к.

ad > bc и - = = > 0 => >

- = = > 0 => >

Кольцо целых чисел этим свойством не обладает.

Лекция 7.