Pismenny_D_T_Konspekt_lektsiy_po_vysshey_matematike_-_Polny_kurs
.pdf№ |
Оригинал |
Изображение |
||
|
f(t) |
F(p) = f00 |
f (t)e-vt dt |
|
|
|
о |
|
|
22 |
sin(wt ±ер) |
WCOS;f ±psin~ |
||
Р +w2 |
||||
|
|
|||
23 |
cos(wt ±ер) |
Е.cos ~ =r w sin ~ |
||
р +w2 |
||||
|
|
§ 79. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 79.1. Теоремы разложения
Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, по
зволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствую щий ему оригинал f(t).
Теорема 79.1. Если функция F(p) в окрестности точки р = оо может
быть представлена в виде ряда Лорана
|
00 |
Сп |
Со |
|
С1 |
|
С2 |
|
F(p) = |
"" |
+ |
+ |
+ · · ·' |
||||
L.,, |
п+~ |
= - |
2 |
3 |
||||
|
n=Op |
|
р |
|
р |
|
р |
|
то функция
является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.
|
|
оо |
|
оо |
tn |
= J(t). |
|
|
|
F(p) = L ~:1 ~ L |
Сп· ! |
|
|
||||
|
|
n=Op |
|
n=O |
n. |
|
|
|
Примем эту теорему без доказательства. |
|
|
|
|||||
Пример 79.1. Найти оригинал f(t), если |
|
|
||||||
|
F(p) = ~ ·sin ~; |
F(p) = -/--. |
|
|
||||
|
|
р |
р |
|
р |
+ 1 |
|
|
Q Решение: Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (р) = ~ ·sin ~ = ~ ( ~ - 2. !_ + 2. !_ - |
" .) = !_ - |
_!_ !_ + |
_!_ !_ - ... |
|||||
р |
р р Р |
3! рз |
5! |
р5 |
|
р2 |
3! р4 |
5! р6 |
590
|
|
|
|
|
|
|
- |
1 t3 |
1 t5 |
|
Следовательно, на основании теоремы 79.1 f(t) - t |
- З! З! |
+ 5! 5! - ..., |
||||||||
t >о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ~l в |
|
Запишем лорановское разложение |
функции |
F(p) |
||||||||
окрестности точки р = оо: |
|
|
|
|
|
|
р + |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
F( |
р |
) _ _ Р_ _ |
р |
_ ~ . |
1 |
= |
|
|
|
|
|
- р2 +1 - |
р2 (1+?) |
- р |
1-(-?) |
|
|
|
|||
|
|
|
= ~(1 - |
:2 + :4 - .. ·) = ~- р~ + :5 -...' |
||||||
где 1?-1 < 1, т. е. IPI > 1. Следовательно, |
f(t) = 1- ~~ |
+ |
~~ - ... , т. е. |
|||||||
f(t) = cost, t >О. |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||
Теорема 79.2. |
Если F(p) |
= |
~~ - |
правильная |
рациональная |
|||||
дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули) |
||||||||||
Р1,Р2, ... ,рп. то функция |
= t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f(t) |
|
A/Pk) |
. ePkt |
|
|
(79.1) |
|
|
|
|
|
k=1 в (pk) |
|
|
|
|
является оригиналом, имеющим изображение F(p).
Q Отметим, что дробь ~~~ должна быть правильной (степень мно
гочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)); в противном случае
не выполняется необходимый признак существования изображения
lim F(p) =О (п. 78.1), т. е. F(p) = БА~) не может быть изображением.
~00 р
Разложим правильную рациональную дробь ~~~ на простейшие:
А(р) |
С1 |
С2 |
Сп |
(79.2) |
F(p) = В(р) |
= -- + -- + ... + -- , |
|||
|
р-р1 Р-Р2 |
р-рп |
|
|
где Ck (k = 1, 2, ... , п) - |
неопределенные коэффициенты. Для опре |
деления коэффициента с1 этого разложения умножим обе части этого
равенства почленно на р - Р1:
А(р) |
|
(р- Р1) |
( |
С2 |
С3 |
Сп ) |
|
В(р) · (р- Р1) = С1 + |
|
р- Р2 + р- Рз + · · · + |
р-Рп |
· |
|||
Переходя в этом равенстве к пределу при р ---t р1 , получаем |
|
||||||
с1 = lim |
А(р) · (р - |
Р1) |
|
lim |
А(р) |
= |
|
р--+р1 |
В(р) |
|
|
p--+pi |
В(р)-В(р1) |
|
|
р-р1
591
Итак, с1 = :,([;;/).Аналогичным путем (умножая обе части равенства
(79.2) нар- Pi) найдем Ci = :1rP}) ,i = 2, ... , п.
Подставляя найденные значения с1 , с2, ••• , Сп в равенство (79.2),
получим |
• |
Так как по формуле (78.3) |
|
|
|
|
|
|
||
_1_...:... eP1t |
' |
_1_...:... eP2t |
' |
... ' |
|
|
||
р-р1 -;- |
р-р2 -;- |
|
|
|
||||
то на основании свойства линейности имеем |
|
|
||||||
F(p) = А(р) = :t A1(pk) |
. _1_ |
|
~ :t A1(pk) . ePkt = f(t). |
• |
||||
В(р) k=l В (Pk) |
р - |
Pk |
k=l В |
(Pk) |
|
За.ме'Чание. Легко заметить, что коэффициенты Ck (k = 1, 2, ... , п)
определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых по-
люсах (формула (77.4)): Ck = :,y;k)) = Res(~~~;pk).
Можно показать, что если F(p) = ~~~ - правильная дробь,
но корни (нули) Р1,Р2, ... ,Рп знаменателя В(р) имеют кратности
т1 , m2 , ••• , тп соответственно, то в этом случае оригинал изображе ния F(p) определяется формулой
п |
|
1 |
1)1 lim |
(А( ) |
(р-Pk)mk |
) (mk-1) |
(79.3) |
|
f(t) = L ( |
|
B(p)ept. |
. |
|||||
k=l |
mk - |
. p-tpk |
р |
|
|
|
|
|
Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом: |
||||||||
Теорема 79.3. |
|
Если |
изображение F(p) |
= |
~~ является |
дробно |
||
рациональной функцией отри р1 ,р2, ••• ,pn - |
простые или кратные |
полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображе нию F(p), определяется формулой
F(p) = ~((р)) ~:tRes(F(pk) · ePkt) = f(t). |
(79.4) |
рk=l
592
79.2. Формула Римана-Меллина
li! Общий способ определения оригинала по изображению дает
обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана
Меллина), имеющее вид
l |
-y+ioo |
|
|
f(t) = 2пi |
J |
F(p) · ePt dt, |
(79.5) |
-y-ioo
где интеграл берется вдоль любой прямой Re р = 'У > S0 •
При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по фор-
муле f(t) = 2;i |
-у+iоо |
n |
[ |
F(p) · ePt dt = k"fl Res(F(p) · ePt; Pk). |
-y-ioo
li! Заме"tание. На практике отыскание функции-оригинала обычно
проводят по следующему плану: прежде всего следует по табли це оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изо
бражения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простей
ших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности,
найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство
умножения изображений, формулу обращения и т.д.
Пример 79.2. Найти оригинал по его изображению F(p)= р~+-34_
Q Решение: |
Проще всего поступить так: |
||||
F( ) _ |
р - |
3 _ |
р |
3 |
_ |
р - |
р2+4 - |
р2+4 - р2+4 - |
|||
|
|
|
- |
р2:22 |
~ р2 ~22 ~cos2t-~sin2t=f(t) |
(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).
Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:
А(р) = |
р - 3, В(р) |
= р2 |
+ 4, В'(р) = 2р, корни знаменателя р1 |
= |
2i и |
|||||||||||
Р2 = -2i и, согласно формуле (79.1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f(t) |
2i - 3 |
2 •t |
+ |
- 2i - 3 |
2•t |
1 |
2•t |
2•t |
2•t |
-е- |
2•t |
|
) |
= |
||
= -- .е |
|
• |
2(- |
. |
е- • =-: (2i(e |
• +е- |
• )-3(е |
• |
•) |
|
||||||
|
2 . 2i |
|
|
|
2i) |
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
:i (2i(cos 2t + i sin 2t + cos 2t - i sin 2t)- |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
- |
3(cos 2t + i sin 2t - |
cos 2t + i sin 2t)) = |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
:i(4i cos2t - 6i sin 2t) = |
cos 2t - |
~sin 2t = |
f (t). |
|
|
8 |
593
Пример 79.3. Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как F(p) = рэ(рl- l).
Q Решение: Здесь А(р) = 1, В(р) = р3 (р-1), В'(р) = 4р3 -Зр2 , р1 |
= 1 - |
||||||||||||||||||||
простой корень знаменателя, р2 |
= О - |
3-кратный корень |
(m |
= 3). |
|||||||||||||||||
Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
lim |
( |
1 |
|
ePt · (р - |
0) |
3 )" |
= |
|
|
|
|
|
|
f (t) = -- ·e |
|
·t + - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 - 3 |
|
|
|
2! p--tO |
р3(р - 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
lim |
( |
pt)" |
= ... = et - |
|
t2 |
- t |
- 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= et + - |
|
_е_ |
- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p--tO |
|
р - |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
т. е. f (t) = е |
t |
- |
t2 |
- |
t - |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приведемдругойспособнахождения f(t). Разобьемдробь p3 (pl- l) |
|||||||||||||||||||||
на сумму простейших дробей: F(p) = |
|
|
1 |
= _ 1 - |
1 - |
|
1 + _1_. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рэ(р - 1) |
|
Р |
|
il |
|
ps |
Р - 1 |
||
Следовательно, f(t) |
= -1- t - t; + et. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как |
|||||||||||||||||||||
произведение |
|
3 ( |
1 |
|
) |
= :\- ·_l__l , и так как :\- ~ t |
2 |
и _l__l ~ et, то, |
|||||||||||||
|
|
р |
|
р- 1 |
|
р р- |
|
|
|
р |
2 |
р- |
|
|
пользуясь свойством умножения изображений, имеем:
|
t |
|
|
[ и= т2 |
1 du = 2тdт ] = |
|
|
F(p) =J~т2et-rdт = |
|
|
|||||
· |
2 |
|
|
dv = et-r dт v = |
-et-r |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
=--1еt-r т2 lt |
1 2 |
|
t |
и = т |
1 du = dт ] |
|
|
Jтеt-т dт= [ |
|
||||||
2 |
о |
+-· · |
|
dv = et-r dr v = -et-r |
= |
||
2 |
|
|
|
о
1 2 |
+О+ |
( |
-r · е |
t-r)lt |
-е |
t-r1t |
1 2 |
- t +О - 1 + е |
t |
= -- t |
|
о |
о |
= --t |
|
||||
2 |
|
|
|
|
2 |
t2 |
|
= et - 2 - t - 1 =
§ 80. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ
=
f(t). 8
Пусть требуется найти частное решение линейного дифференци ального уравнения с постоянными коэффициентами
у(п) + aiy(п-l) + ... + апу = f (t), |
(80.1) |
594
удовлетворяющее начальным условиям
у(О) = ео, |
... ' |
где Со, с1, ..., Cn-1 - заданные числа.
Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматри
ваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами. Пусть y(t) ~ У(р) = У и f(t) ~ F(p) = F. Пользуясь свойствами
дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении
(80.1) от оригиналов к изображениям:
(Рny -рn-1 CQ-pn-2С1 -. · .-Сп-1 ) +а1 (рn-1y -рn-2 CQ-. · .-Сп-2) +. ··
... + an-1(pY - со)+ anY = F.
Полученное уравнение называют операторн:ым (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно У:
Y(pn + a1pn-l + ... + Un-1P + ап) = F + eo(pn-l + alpn- 2 + ... + ап-1)+
+ |
С1 |
( n-2 |
+ а1р |
n-3 |
+ ... + an-2 |
) |
+ ... + Cn-1, |
||
|
Р |
|
|
|
|||||
т. е. У(р)·Qп(Р) = F(p)+Rn-1(p), где Qп(р) и Rn-1 (р) - |
алгебраические |
||||||||
многочлены от р степени п и п - |
1 соответственно. |
|
|
|
|||||
Из последнего уравнения находим |
|
|
|
|
|
||||
у(р) = F(p) + Rп-1(р) |
|
|
(80.2) |
||||||
|
|
|
|
Qп(р) |
|
. |
|
|
|
Полученное равенство называют операторным решением диффе
ренциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все
начальные условия равны нулю, т. е. у(О) = у'(О) = ... = y(n-l)(O) =О.
= _!ip)_
В этом случае У(р) Qп(Р).
Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению
(80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение
дифференциального уравнения (80.1).
Заме'Чание. Полученное решение y(t) во многих случаях оказыва ется справедливым при всех значениях t (а не только при t ~О).
Пример 80.1. Решить операционным методом дифференциаль
ное уравнение у" - Зу'+ 2у = 12e3t при условиях у(О) = 2,у'(О) = 6.
Q Решение: Пусть y(t) ~ У(р) =У. Тогда
y'(t) ~ рУ -у(О) = рУ - 2,
у"(t) ~ р2У - ру(О) - у'(О) = р2У - 2р - 6,
и e3t == _1_
. р-3'
595
Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем
операторное уравнение: р2У - |
2р - 6 - 3(рУ - |
2) + 2У = 12 ___1_ . Отсю |
|
|
р - 3 |
2р2 - 6р + 12 |
( ) |
|
да У(р) = (р- l)(p _ 2)(р _ 3). Находим у t. Можно разбить дробь на |
сумму простейших (У(р) = _л__l+ |
В |
2 |
+ |
С |
3 |
), но так как корни зна- |
|||||
менателя (р1 = 1, р2 |
|
р - |
|
р- |
|
р- |
|
|
|||
= 2, р3 = 3) простые, то удобно воспользоваться |
|||||||||||
второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой |
|
||||||||||
|
|
А(р) = 2р2 - 6р + 12, |
|
|
|
||||||
В'(р) = (р- 2)(р- 3) + (р- l)(p- 3) + (р - l)(p- 2). |
|
||||||||||
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) = |
8 |
e1·t + |
8 |
|
|
|
12 |
|
|
8 |
|
(-1)·(-2) |
1·(-1) |
e2·t + -еЗ·t = 4et - 8e2t + 6езt. |
|||||||||
|
|
|
|
2·1 |
|
|
|
||||
Пример 80.2. Найти решение урав- |
f(t) |
|
|||||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
если О ~ t < 2, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 ·t, |
|
|
|
|
|
|
||||
у" + 4у = { 3 - t, |
если 2 ~ t |
< 3, |
|
|
|
|
2 3 |
t |
|||
|
О, |
если t < О, |
t |
~ 3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при условии у(О) =О, у'(О) =О. |
|
|
|
|
|
|
Рис. 311 |
|
Q Решение: График данной функции имеет вид, изображенный на ри
сунке 311. С помощью единичной функции правую часть данного диф
ференциального уравнения можно записать одним аналитическим вы
ражением:
|
/(t) |
1 |
|
1 |
(3 - t). |
l(t - 2) - |
(3 - t)l(t - 3) = |
|
= 2t. l(t) - |
2t · l(t - 2) + |
|||||
= |
1 |
|
1 |
2 + 2) · l(t - 2) - |
(t- 2 - |
1) · l(t - |
2) + (t - 3) · l(t - 3) = |
2t · l(t) - |
2 (t - |
11
=2t · l(t) - 2(t - 2) · l(t - 2) - 1(t - 2) - (t - 2). 1(t - 2)+
13
+l(t-2) + (t-3) · l(t-3) = 2t ·l(t)- 2(t-2) · l(t-2) + (t-3) · l(t-3).
Таким образом, имеем |
|
у"+4у = ~t. l(t) - |
~(t - 2) · l(t - 2) + (t - 3) · l(t - 3). |
2 |
2 |
Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет
вид |
1 1 |
3 1 |
-2 |
1 -3 |
|
2 |
Р. |
||||
р |
У +4У = -- - |
--е |
|
Р+ -е |
|
|
2р2 |
2р2 |
|
р2 |
|
596
Отсюда
У( ) - ~. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
- 2 р2(р2 +4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
1(1 |
1 ) |
1(1 |
1 |
2 ) |
|
1( |
1 |
) |
1 |
~ |
||||||||
р2(р2 + 4) |
= 4 р2 - |
р2 + 4 = |
4 р2 - |
2 . р2 |
+ 22 |
4 t - |
2sin 2t |
' |
|
то по теореме запаздывания находим: |
|
|
|
|
|
|
|||
y(t) = ~(t - ~sin2t) - ~(t - |
2 - ~sin2(t- |
2)) l(t - |
2)+ |
|
|
||||
|
|
|
+ ~( t - |
3 - ~sin 2(t |
- |
3)) 1 (t - 3). |
8 |
Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен
тами.
Покажем это на конкретном примере.
Пример 80.3. Решить систему дифференциальных уравнений
{х' =у- z,
у' = х +у, х(О) = 1, у(О) = 2, z(O) = 3.
z' = х + z;
Q Решение: Пусть
х = x(t) ~ Х(р) = Х; у= y(t) ~ У(р) =У; z = z(t) ~ Z(p) = Z.
Находим, что
х' ~ рХ - 1; у' ~ рУ - 2; z' ~ pZ - 3.
Система операторных уравнений принимает вид
{рХ-У +Z= 1,
Х- (р - l)Y = -2,
Х+ (1 - p)Z = -3.
Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:
р-2
х(р) = р(р - 1) '
2р2 - р- 2
У(р) = р(р - 1)2 '
Z(p) = 3р2 - 2р- 2
р(р- 1)2
597
Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:
|
р-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х(р) = р(р- 1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2р - 2 - р |
2(р - 1) |
|
р |
|
|
|
2 |
1 . |
|
|
t |
|
|||
= |
p(p- l) = р(р- l) |
р(р- l) |
= р |
- р- 1 7 |
2 - |
е |
|
= x(t), |
||||||||
У(р) = |
2р2 - р- 2 |
2 |
|
4 |
- |
(р |
1 |
|
|
Ф -2 + 4et - |
tet = y(t), |
|||||
( |
|
)2 |
= -- |
+ -- |
1) |
2 |
||||||||||
|
р р- |
1 |
р |
р- 1 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
||||
Z(p) = |
3р2 - 2р - 2 |
2 |
|
5 |
- |
( |
1 |
)2 |
. |
t |
|
t |
= z(t). |
|||
( |
|
)2 |
= -- |
+ -- |
|
::;:: -2 + 5е |
- |
te |
||||||||
|
рр-1 |
|
р |
|
р- 1 |
|
р-1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: x(t) = 2 - |
et, y(t) = -2 + 4et - tet, |
z(t) = -2 + 5et - |
tet. 8 |
С помощью операционного исчисления можно также находить ре шения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэф
фициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений}; производить суммирование рядов;
вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значи~
тельно упрощается.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Правила дифференцирования
1. (и± v)' =и'± v';
2. (и· v)' = и'v + uv', в частности, (си)'= с· и';
3. ( ; ) , =и1v;; uv/ , в частности, ( ~)' = -~;1
4.у~ =у~· и~, если у= f(u), и= ср(х);
5.у~ = J,-, если у= f(x) их= ср(у).
Ху
Формулы дифференцирования
1. (с)' =О;
2 |
. |
(и°')'= а· и°'-1 |
·и' |
' |
в частности |
' |
( |
|
Гu)' = |
- |
1- |
·и'· |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у"' |
2y'U |
' |
|||||
3. |
(аи)' =аи · ln а· и', в частности, (еи)' = еи ·и'; |
|
|||||||||||||||||||
4. |
(log и)' = |
- |
|
- |
|
·и' |
|
в частности |
|
|
(ln и)' = |
1 ·и'· |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
' |
|
|
|
' |
|
|
|
а |
|
u·lna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||||||
5. |
(sinu)' = соsи·и'; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
(cosu)' = |
- |
|
sin и· и'; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.(tgu)'= |
|
1 |
|
·и'; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
(ctgu)' = |
- |
|
s.ш12 и ·и'; |
·и'; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.(arcsinu)'= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
V1-u2 |
|
|
·и'; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. |
(arccosu)' = |
- |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. (arctgu)' = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
~l ·и'; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
+и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
(arcctgu)' =-~·и'; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l+и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. |
(shu)' = chu ·и'; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. (ch и)'= sh и· и';
15. (thu)' =~·и'; ch и
16. (cthu)' =-~·и'. sh и
599