8
.1.pdf
|
|
R |
1 |
|
|
|
|
|
Uвых(P) |
CP |
Uвх(P) , |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
LP R |
1 |
|
|
|
||
|
CP |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
упростив выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
Uвых(P) |
|
R C P 1 |
|
Uвх |
(P). |
|||
L C P2 R C P 1 |
||||||||
(3.3)
(3.4)
Для получения дифференциального уравнения необходимо переписать уравнение
U |
вых |
|
L C P2 |
|
|
|
|
|
|
вх |
(P) . |
|
||
|
(P) |
R C P 1 |
|
|
R C P 1 U |
|
(3.5) |
|||||||
Учитывая, что P |
d |
, |
а P2 |
d2 |
, получается искомое дифференци- |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
||
альное уравнение электрической цепи: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
L C d 2Uвых(t) R C dUвых(t) Uвых |
(t) R C dUвх(t) Uвх(t) . |
(3.6) |
||||||||||||
|
dt2 |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|||
Задание на работу Дано: схема электрической цепи и ее параметры.
Требуется составить дифференциальное уравнение электрической цепи относительно входного Uвх(t) и выходного Uвых(t) напряжений.
В отчете представить:
1)задание для практической работы и вариант задания;
2)порядок выполняемых действий с комментариями;
3)промежуточные и окончательные результаты.
51
№ вар. |
Схема цепи |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
|
L1 |
R1 |
R2 |
C1 |
2 |
|
R1 |
L1 |
R2 |
C1 |
3 |
|
C1 |
R1 |
L1 |
C2 |
4 |
|
L1 |
R1 |
L2 |
R2 |
5 |
|
R1 |
L1 |
L2 |
R2 |
6 |
|
L1 |
R1 |
C1 |
C2 |
7 |
|
L1 |
C1 |
R1 |
C2 |
8 |
|
R1 |
R2 |
L1 |
C1 |
9 |
|
R1 |
L1 |
C1 |
C2 |
10 |
|
L1 |
L2 |
R1 |
R2 |
|
|
52 |
|
|
|
3.2. Временные характеристики систем
Дифференциальное уравнение объекта управления имеет вид
1000 y |
(t) 100 y (t) y(t) x(t) . |
(3.7) |
|
|
|
|
|
Требуется найти переходную характеристику.
На основе выражения (1.3) вынужденная составляющая решения yвын(t) 1. Составляем характеристическое уравнение
1000P2 100P 1 0 .
Находим корни уравнения: |
|
|
|
|
|
||
Р1 = –0,01127, Р2 = –0,08873. Согласно формуле (1.5) свободная со- |
|||||||
ставляющая решения y (t) c e 0,01127 t c |
e 0,08873t . |
|
|||||
|
св |
1 |
2 |
yсв(t) |
и |
yвын(t) , |
|
Общее |
решение, |
как |
сумма |
||||
y(t) c e 0,01127 t c e 0,08873t 1. |
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Для определения постоянных интегрирования используем началь- |
|||||||
ные условия. Найдем производную: |
|
|
|
|
|
||
|
|
0,01127t |
0,08873c2e |
0,08873t |
. |
(3.8) |
|
y (t) 0,01127c1e |
|
|
|||||
Начальные условия дают систему уравнений |
|
|
|
||||
y(0) c1 c2 1 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01127c 0,08873c |
0, |
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
из которой находим c1 1,1455;
c2 0,1455.
Подставляя постоянные интегрирования в общее решение, получаем искомое решение поставленной задачи:
y(t) 1.1455 e 0.01127t 0.1455 e 0.08873t 1. |
(3.9) |
Задаваясь рядом значений времени (t = 0, 10..200), строим зависимость y(t) .
Задание на работу Дано: дифференциальное уравнение элемента системы автоматиче-
ского управления и его коэффициенты.
№ варианта |
a2 |
a1 |
a0 |
b0 |
1 |
5000 |
150 |
1 |
1 |
2 |
1000 |
110 |
1 |
1 |
3 |
1200 |
120 |
1 |
2 |
4 |
4000 |
140 |
1 |
1 |
5 |
2600 |
130 |
1 |
1 |
|
|
53 |
|
|
6 |
4500 |
160 |
1 |
2 |
7 |
2464 |
100 |
1 |
1 |
8 |
5500 |
170 |
1 |
1 |
9 |
7000 |
180 |
1 |
2 |
10 |
4650 |
150 |
1 |
1 |
11 |
800 |
110 |
1 |
1 |
12 |
910 |
120 |
1 |
2 |
13 |
3450 |
140 |
1 |
1 |
14 |
2120 |
130 |
1 |
1 |
15 |
4100 |
160 |
1 |
2 |
16 |
2436 |
100 |
1 |
1 |
17 |
5125 |
170 |
1 |
1 |
18 |
7200 |
180 |
1 |
2 |
19 |
4202 |
150 |
1 |
1 |
20 |
805 |
110 |
1 |
1 |
Требуется решить дифференциальное уравнение элемента и найти переходную характеристику.
В отчете представить:
1.задание для практической работы и вариант задания;
2.порядок выполняемых действий с комментариями по решению дифференциального уравнения элемента;
3.расчет переходной характеристики элемента;
4.график переходной характеристики.
3.3. Определение качества процесса управления
Задание на работу Требуется построить переходную характеристику и по ней опреде-
лить прямые оценки качества.
№ варианта |
a2 |
a1 |
a0 |
b0 |
1 |
5000 |
15 |
1 |
1 |
2 |
1000 |
11 |
1 |
1 |
3 |
1200 |
12 |
1 |
2 |
4 |
4000 |
14 |
1 |
1 |
5 |
2600 |
13 |
1 |
1 |
6 |
4500 |
16 |
1 |
2 |
7 |
2464 |
10 |
1 |
1 |
8 |
5500 |
17 |
1 |
1 |
9 |
7000 |
18 |
1 |
2 |
|
|
54 |
|
|
10 |
|
|
4650 |
15 |
|
1 |
|
1 |
|
11 |
|
|
800 |
11 |
|
1 |
|
1 |
|
12 |
|
|
910 |
12 |
|
1 |
|
2 |
|
13 |
|
|
3450 |
14 |
|
1 |
|
1 |
|
14 |
|
|
2120 |
13 |
|
1 |
|
1 |
|
15 |
|
|
4100 |
16 |
|
1 |
|
2 |
|
16 |
|
|
2436 |
10 |
|
1 |
|
1 |
|
17 |
|
|
5125 |
17 |
|
1 |
|
1 |
|
18 |
|
|
7200 |
18 |
|
1 |
|
2 |
|
19 |
|
|
4202 |
15 |
|
1 |
|
1 |
|
20 |
|
|
805 |
11 |
|
1 |
|
1 |
|
|
3.4. Передаточные функции звеньев и систем |
|
|||||||
Преобразуем дифференциальное уравнение |
|
|
|
||||||
по Лапласу |
a3 y (t) a2 y (t) a1 y (t) a0 y(t) b1x (t) b0 x(t) |
|
|||||||
P2 Y (P) a P Y (P) a Y (P) b P X ( p) b X (P) , |
(3.10) |
||||||||
a P3 |
Y (P) a |
||||||||
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
||
или (a3P3 a2 P2 a1P a0 ) Y (P) (b1P b0 ) X (P).
Найдем отношение Y(P) к X(P), т. е. передаточную функцию W(P):
W (P) |
|
b1P b0 |
|
. |
|
a P3 |
a P2 |
a P a |
|||
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
Начальное и конечное значения y(t):
y(0) lim |
|
|
b1P b0 |
|
; |
|
||
|
|
a P2 a P a |
|
|||||
|
P a P3 |
|
|
|||||
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
||
y( ) |
lim |
|
b1P b0 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||||
|
P 0 a P3 a P2 |
a P a |
||||||
|
3 |
2 |
1 |
|
0 |
|
||
Задание на работу
Дано: дифференциальное уравнение системы
a3 y (t) a2 y (t) a1y (t) a0 y(t) b1x (t) b0x(t).
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Требуется:
а) получить передаточную функцию системы по ее дифференциальному уравнению;
б) найти значения y(0) и y( ) при x(t)=1(t) и нулевых начальных условиях с помощью теорем о начальном и конечном значениях оригинала.
55
Номер |
а3 |
а2 |
а1 |
а0 |
b1 |
b0 |
|
варианта |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1000 |
5000 |
150 |
1 |
20 |
1 |
|
2 |
5000 |
1000 |
110 |
1 |
30 |
1 |
|
3 |
4000 |
1200 |
120 |
1 |
40 |
2 |
|
4 |
8000 |
4000 |
140 |
1 |
50 |
1 |
|
5 |
5200 |
2600 |
130 |
1 |
60 |
1 |
|
6 |
9000 |
4500 |
160 |
1 |
70 |
2 |
|
7 |
6000 |
2464 |
100 |
1 |
80 |
1 |
|
8 |
11000 |
5500 |
170 |
1 |
90 |
1 |
|
9 |
15000 |
7000 |
180 |
1 |
20 |
2 |
|
10 |
10000 |
4650 |
150 |
1 |
30 |
1 |
|
11 |
2000 |
800 |
110 |
1 |
40 |
1 |
|
12 |
3000 |
910 |
120 |
1 |
50 |
2 |
|
13 |
7000 |
3450 |
140 |
1 |
60 |
1 |
|
14 |
4000 |
2120 |
130 |
1 |
70 |
1 |
|
15 |
9500 |
4100 |
160 |
1 |
80 |
2 |
|
16 |
11000 |
2436 |
100 |
1 |
90 |
1 |
|
17 |
15000 |
5125 |
170 |
1 |
20 |
1 |
|
18 |
14000 |
7200 |
180 |
1 |
40 |
2 |
|
19 |
9500 |
4202 |
150 |
1 |
60 |
1 |
|
20 |
2500 |
805 |
110 |
1 |
80 |
1 |
В отчете представить:
1)задание для практической работы и вариант задания;
2)порядок выполняемых действий с комментариями;
3)результаты по выполнению пунктов а, б.
3.5.Структурный анализ автоматических систем
Требуется вывести эквивалентную передаточную функцию системы, структурная схема которой приведена на рис. 3.2, причем
W |
k1 |
|
, |
W2 |
|
k2 |
, W k |
, W k4 |
, W |
k5 |
|
, W k |
e P , W k7 . |
||
|
|
|
|||||||||||||
1 |
T1P 1 |
|
|
3 3 |
4 |
P |
5 |
T2 P 1 |
6 6 |
7 |
P |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
Рис. 3.2. Структурная схема системы
1. Обозначим на структурной схеме промежуточные сигналы:
2. Определим каждый промежуточный сигнал в системе: |
|
(P) X (P) Yос(P) ; |
(3.14) |
Y1(P) W1(P) (P) W1(P) (P) ; |
|
Y2 (P) Y1(P) W2 (P) W1(P) W2 (P) (P) ; |
|
Y3 (P) Y2 (P) W3 (P) W1(P) W2 (P) W3 (P) (P); |
|
Y4 (P) Y2 (P) W4 (P) W1(P) W2 (P) W4 (P) (P) . |
|
При формировании сигнала Y(P) сигнал Y3(P) вычитается из Y4(P): |
|
Y(P) Y4 (P) Y3(P) W1(P) W2 (P) W4 (P) W3(P) (P); |
(3.15) |
Y5 (P) Y(P) W5 (P) ;
Y6 (P) Y5 (P) W6 (P) Y(P) W5 (P) W6 (P) ;
Y7 (P) Y5 (P) W7 (P) Y(P) W5 (P) W7 (P) .
57
При формировании сигнала Yос(P) сигнал Y7(P) вычитается из Y6(P): |
|
Yос(P) Y W5 (P) W6 (P) W7 (P) . |
(3.16) |
Подставив выражение 3.16 в 3.14, получим |
|
(P) X(P) Y W5 (P) W6 (P) W7 (P) |
(3.17) |
Полученное выражение 3.17 подставим в 3.15:
Y(P) W1(P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) X (P) Y W5 (P) W6 (P) W7 (P) ,
Преобразуем полученное выражение:
Y(P) W1(P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) X (P) Y W5 (P) W6 (P) W7 (P)
W1(P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) X (P)
W1(P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) W5 (P) W6 (P) W7 (P) Y(P) ,
или
Y(P) 1 W1(P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) W5 (P) W6 (P) W7 (P)
W1(P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) X (P)
Таким образом,
Y (P) |
|
W1 (P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) |
. |
X (P) |
|
1 W1 (P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) W5 (P) W6 (P) W7 (P) |
|
Другим способом можно определить эквивалентную передаточную функцию, используя приведенные формулы.
Для этого преобразуем структурную схему следующим образом:
В полученной структурной схеме W1 2 (P) W1(P) W2 (P), т. к. звенья W1(P) и W2(P) соединены последовательно, W3 4 (P) W4 (P) W3 (P),т. к. звенья соединены параллельно, W6 7 (P) W6 (P) W7 (P), т. к. звенья соеди-
нены параллельно.
Передаточную функция системы с отрицательной обратной связью определяем с помощью выражения 1.12:
W (P) |
Y (P) |
|
|
|
W1 2 (P) W3 4 (P) |
|
. |
||
X (P) |
1 |
W |
(P) W |
(P) W |
(P) W |
(P) |
|||
|
|
|
|
5 |
6 7 |
1 2 |
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
58 |
|
|
|
|
Подставляя значения для W1-2(P), W3-4(P), W6-7(P), получим
Y(P) |
|
W1(P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) |
|
|
|
. |
|
X (P) |
1 W5 (P) W6 (P) W7 (P) W1(P) W2 (P) W4 (P) W3 (P) |
||
Подставив известные выражения для звеньев, получим
|
|
|
|
|
|
k1 |
k |
|
|
k4 |
k |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
T1 P 1 |
|
|
P |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
WX Y (P) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
k |
|
k4 |
k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
e P |
|
|
7 |
|
1 |
|
2 |
P |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
5 |
|
|
k6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
T2 |
P 1 |
P |
|
T1 P 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задание на работу Дано: структурная схема системы.
Требуется: вывести эквивалентную передаточную функцию по каналу X–Y.
В отчете представить:
1)задание для практической работы и вариант задания;
2)порядок выполняемых действий с комментариями;
3)результаты по выполнению задания.
59
№ |
Структурная схема |
W1(P) |
W2(P) |
W3(P) |
W4(P) |
W5(P) |
W6(P) |
|||||||||||
вар. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
k1 |
|
|
|
k3 |
k4 |
|
|
|
|
|
k |
6 e |
P |
|||
|
|
T1P 1 |
k 2 |
T2 P 1 |
|
|
k5 |
|
|
|||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
k |
|
|
|
k3 |
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
e |
P |
|
|
|
|
|
|
T1P 1 |
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|||||
|
|
1 |
|
k 2 |
k 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
P |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
k e P |
k |
2 |
|
k4 |
|
|
|
|
|
|
|
k6 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
k 3 |
T1P 1 |
|
|
k5 |
|
T2 P 1 |
|||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
k e P |
k2 |
|
k |
4 |
|
|
k5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
T1P 1 |
k 3 |
|
T2 P 1 |
|
|
k 6 |
|
|||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
k1 |
|
|
|
k3 |
|
|
|
|
k5 |
|
|
|
k6 |
|
||
|
|
T1P 1 |
k 2 |
k 4 |
T2 P 1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
P |
|
|
P |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
k e |
P |
k |
|
|
k4 |
|
|
|
|
|
k |
6 e |
P |
|||
|
|
|
2 |
k 3 |
T1P 1 |
|
|
k5 |
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
|
k e |
P |
k2 |
|
k4 |
|
|
|
|
|
k |
6 e |
P |
||||
|
|
|
T1P 1 |
k 3 |
T2 P 1 |
|
|
k5 |
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8 |
|
k e |
P |
k |
|
k3 |
|
|
|
|
k |
|
|
k |
6 e |
P |
||
|
|
|
2 |
T1P 1 |
k 4 |
|
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9 |
|
k |
|
k2 |
|
k |
|
k |
|
e |
P |
|
|
k6 |
|
|||
|
|
|
T1P 1 |
k 3 |
4 |
5 |
|
T2 P 1 |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
P |
|
P |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10 |
|
k1 |
|
|
|
k3 |
k4 |
|
|
|
|
|
k |
6 e |
P |
|||
|
|
T1P 1 |
k 2 |
T2 P 1 |
|
|
k5 |
|
|
|||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|