smdo_tsp

После выхода из строя любого из этих устройств наступает второй этап жизни системы – одно из оставшихся устройств становится основным с интенсивностью отказов λ1 , а второе – первым резервным с

интенсивностью отказов λ2 . Поэтому на втором этапе интенсивность отказов в системе равна λ1 + λ2 . На третьем этапе в системе остается единственное устройство, включается в работу в качестве основного и

системе в момент времени t ;

m(t) - математическое ожидание числа отказов устройств в системе в момент времени t .

4.Построить графики функций n(t) , m(t) на интервале [0; b]. Значения n, m вычислять с точностью до десятых.

5.Вычислить среднее время жизни системы.

31

36Смысл элементов pij в матрице перехода.

37Определение понятия «сечение случайного процесса».

38Определение понятия «предельная вероятность состояния» в цепи Маркова.

39Формула расчета вероятностей состояний на к-м шаге процесса Маркова.

40Формулировка понятия «стохастическая матрица».

41Формулировка теоремы о стохастических матрицах.

42Формулировка теоремы Маркова.

43Классификация резервных элементов.

44Формулировка понятия «интенсивность отказов» для резервируемой системы.

45Смысл функций pk (t) в теории резервирования.

46Формула расчета среднего времени жизни резервируемой системы.

Теоретическая часть

6Теорема Маркова, часть 4 ( заключительная ).

7Простейший вариант теоремы Маркова.

8Анализ теоремы Маркова.

9Вывод системы ДУ для цепи Маркова с непрерывным временем.

10Вывод формул Эрланга.

11Анализ формул Эрланга.

12Приближенное решение задач гибели-размножения с помощью рядов.

13Вывод расчетной формулы среднего времени жизни системы с резервированием.

14Моделирование случайных процессов.

33

Версии ответов на вопросы теоретической части коллоквиума

Вывод формул линейного прогноза

Часть 1. Пусть имеется система случайных величин и известны их основные числовые характеристики. Требуется получить простейшую формулу прогноза U по известному значению V. Будем обозначать прогноз

случайной величины U символом ˆ . Наиболее простая зависимость –

U

линейная:

прогноза Z принимает некоторое неотрицательное значение. Чем меньше число Z, тем точнее оказался прогноз. Выберем коэффициенты формулы (6) так, чтобы минимизировать математическое ожидание Z, тем самым будет минимизирована средняя ошибка прогноза по формуле (6).

M (Z ) = M ((U − kV − b )2 )= D (U − kV − b ) + M (U − kV − b )2 =

Преобразуем первое слагаемое:

D(U − kV) = M((U − kV)2 )− M(U − kV)2 = M(U 2 )− 2kM(UV)+ k 2M(V 2 ) −

−(M(U)2 − 2kM(U)M(V )+ k 2M(V )2 )= (M(U 2 )− M(U)2 ) −

−2k(M(UV)− M(U)M(V))+ k 2 (M(V2 )− M(V)2 )= D(U)− 2kKuv + k 2D(V) =

Первое слагаемое в формуле для M(Z) не зависит от выбора коэффициентов k и b, а остальные слагаемые неотрицательны при любых k и b. Следовательно, минимум для M(Z) будет обеспечен, если второе и третье слагаемые обратить в нуль:

Часть 2. Пусть имеется случайный процесс X(t). Известно значение этого процесса в момент времени t1 . По известным числовым

34

и вернем величинам U и V их смысл по отношению к случайному процессу X(t). Получим формулу линейного прогноза случайного процесса:

учитывая, что при надлежащем выборе коэффициентов k и b в правой части остается только первое слагаемое, получим:

35

определяющий тесноту линейной корреляции между случайными величинами, а для случайного процесса - степень корреляции между его сечениями t1 и t 2 :

Теорема Маркова

Часть 1. Формулировка теоремы. Если в матрице перехода все элементы положительны, то предельные вероятности состояний

существуют.

которых [0;1] и сумма элементов любой строки равна 1, называют стохастическими. Рассмотрим свойства матрицы

n

Учитывая свойство стохастических матриц ∑ p i j = 1 , получим:

j=1

36

pi(jk ) £ max p(rkj −1) . r

Это неравенство выполняется для всех i, поэтому можно записать:

∑+ − суммирование по индексу m неотрицательных элементов;

m

∑ − − суммирование по индексу m отрицательных элементов. m

pi j > 0 . Последнее равенство использует свойство стохастических матриц.

Кроме того, согласно обозначению имеем: d+ (i, j) ³ 0 . Рассмотрим разность

Следовательно, d + (i, j) = d − (i, j) .

Таким образом, получена оценка для всех i, j :

0 £ d+ (i, j) = d− (i, j) < 1.

Если обозначить δ = max δ+ (i, j), то 0 ≤ δ < 1 .

i, j

37

Формулы (15) означают, что с ростом k максимальный элемент любого столбца матрицы не возрастает, а минимальный не убывает. А соотношение

(16) указывает на то, что разность между максимальным и минимальным элементами стремится к нулю. Следовательно, все элементы r-го столбца матрицы Ak стремятся к общему пределу:

Простейший вариант теоремы Маркова

Пусть система может принимать только два состояния: E1 и E 2 . Обозначим вероятности переходов системы на каждом шаге:

Теорема. При любом исходном состоянии системы вероятности состояний E1 и E 2 стремятся к предельным значениям, когда число переходов стремится к бесконечности.

Обозначим: u k − вероятность того, что система находится в состоянии E1

после k шагов, а vk − в состоянии E 2 . По свойству полной группы событий u k + vk = 1. По формуле полной вероятности запишем:

u1 = (1 − α)u 0 + βv0 = (1 − α)u 0 + β(1 − u 0 ) = β + (1 − α − β)u 0 ,

39

v1 = (1 − β)v0 + αu0 = (1 − β)v0 + α(1 − v0 ) = α + (1 − α − β)v0 ,

далее:

u 2 = (1 − α)u1 + βv1 = (1 − α)(β + (1 − α − β)u 0 ) + β(α + (1 − α − β)v0 ) =

=(1 − α)(β + (1 − α − β)u 0 ) + β(α + (1 − α − β)(1 − u 0 )) =

=β + β(1 − α − β) + (1 − α − β)((1 − α)- β)u 0 =

=β + β(1 − α − β) + (1 − α − β)2 u 0 .

что не только доказывает существование предельных вероятностей, но и

указывает их значение.

Анализ теоремы Маркова

Начальные вероятности состояний системы {p10 ; p02 ; p30 } представим в виде

40