43. Динамическая модель в.Леонтьева.

Предложенная В.Леонтьевым в начале 50-х гг. динамическая межотраслевая модель является классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Построение этой модели удобно представить как дезагрегирование элементов простейшей динамической модели воспроизводства общественного продукта (см. 10.1), при котором эндогенные и экзогенные макропеременные заменяются векторами, а технологические макропараметры — матрицами. Модель имеет вид

(11.1)

где - вектор-столбец объемов производства;

— вектор-столбец абсолютных приростов производства;

c(t) — вектор-столбец потребления (включая непроизводственное накопление);

- матрица коэффициентов прямых материальных затрат (в отличие от коэффициентов статического межотраслевого баланса коэффициенты в динамической модели включают также затраты на возмещение выбытия и капитальный ремонт основных производственных фондов);

- матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства (затраты производственного накопления на единицу прироста соответствующих видов продукции; смысл этих коэффициентов будет уточнен ниже); i, j I, I={1, …, n}. Поскольку , то вместо (11.1) может исследоваться система дифференциальных уравнений

. (11.2)

где В(Е — А)^-1 — матрица коэффициентов полной приростной капиталоемкости, т.е. полных затрат производственного накопления на единичные приросты элементов используемого национального дохода.

Предполагается, что матрица А продуктивна. В дальнейшем анализе удобно считать матрицу А неразложимой, а матрицу В — невырожденной (см. разъяснения в ДМНХ, с. 124). Тогда (Е - А)^-1 > Е + А, В (Е - А)^-1 >В.

Очевидно, что экономический смысл имеют только решения X(t)  0. Как будет показано далее, экономическим предпосылкам модели (11.1) соответствуют только неубывающие траектории X(t), т.е. .

Решение системы (11.2) при в силу неотрицательности матриц (Е-А)^-1 и В(Е - А)^-1 гарантирует, что

Y(t)  0, X(t)  0,

В соответствии с теорией дифференциальных уравнений решение систем (11.1) и (11.2) проводится в три этапа: а) определяется общее решение однородной системы уравнений при c(t) = 0; б) находится частное решение неоднородной системы; в) из начальных условий рассчитываются неопределенные постоянные общего решения.

44. Расчет параметров сетевой модели.

Календарное планирование предусматривает определение моментов начала и окончания каждой работы и других временных характеристик сетевого графика. Это позволяет проанализировать сетевую модель, выявить критические работы, непосредственно определяющие срок выполнения проекта, провести оптимизацию использования ресурсов (временных, финансовых, исполнителей).

Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событий, которые вписывают непосредственно в вершины сетевого графика (рис.8.1):

         – ранний срок наступления события i, минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i;

         – поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;

         – резерв события i, т.е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения проекта в целом.

Рис.8.1. Отображение временных параметров событий на сетевом графике

Ранние сроки свершения событий рассчитываются от исходного (И) к завершающему (З) событию следующим образом:

1)     для исходного события И ;

2)     для всех остальных событий I

,

где максимум берется по всем работам , входящим в событие i;  – длительность работы (k,i) (рис.8.2).

Рис.8.2. Расчет раннего срока свершения события i

Поздние сроки свершения событий рассчитываются от завершающего к исходному событию:

1)     для завершающего события З ;

2)     для всех остальных событий

,

где минимум берется по всем работам , выходящим из события i;  – длительность работы (k,i) (рис.8.3).

Рис.8.3. Расчет позднего срока свершения события i

Временные параметры работ определяются на основе ранних и поздних сроков событий:

         – ранний срок начала работы;

         – ранний срок окончания работы;

         – поздний срок окончания работы;

         – поздний срок начала работы;

         – полный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы или отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения проекта в целом;

         – свободный резерв работы показывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность работы или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ.

Путь – это последовательность работ в сетевом графике (в частном случае это одна работа), в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь – это путь от исходного до завершающего события. Критический путь – максимальный по продолжительности полный путь. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими. Критические работы имеют нулевые свободные и полные резервы. Подкритический путь – полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Для проведения анализа временных параметров сетевой модели используют график привязки, который отображает взаимосвязь выполняемых работ во времени. По вертикальной оси графика привязки откладываются коды работ, по горизонтальной оси – отрезки, соответствующие длительностям работ (раннее начало и раннее окончание работ). График привязки можно построить на основе данных о продолжительности работ. При этом необходимо помнить, что работа может выполняться только после того как будут выполнены все предшествующие ей работы .