Частотний критерій стійкості – критерій Михайлова.

Частотні критерії базуються на властивостях частотних характеристик стійких систем. Велику роль в розвитку теорії стійкості зіграв частотний критерій стійкості, запропонований в 1936 р. А.В. Михайловим. Так, як і алгебраїчні критерії, частотні критерії витікають з обов’язкової умови наявності лише лівих коренів в характеристичному рівнянні стійкої лінійної динамічної системи. Не зупиняючись на доведеннях критерію А.В. Михайлова, розглянемо його практичне використання для аналізу стійкості. З цією ціллю характеристичне рівняннязапишемо у вигляді

a₀pⁿ + a₁pⁿ⁺¹ + … + a_n-1p + a_n = F(p). (3.5)

Поклавши в (3.5) p = jp = j і відокремлюючи дійсну частину від уявної, поліном F(p) приведемо до виду:

F(j) = U() + j V(), (3.6)

де: U() - дійсна частина – сума всіх членів, які містять j в парних ступенях; V – уявна частина виразу .

У відповідності з критерієм Михайлова умова стійкості:

 arg F(j) = n (/2), 0 <  <  . (3.7)

Геометричне місце точок кінця вектора F(jω) при зміні частоти в діапазоні 0<< називається годографом вектора, або годографом Михайлова. У відповідності з (3.7) критерій Михайлова формулюється наступним чином: динамічна система, яка описується лінійним диференційним рівнянням n-го порядка, стійка, якщо при зміні  від 0 до  годограф вектора F(j) послідовно проходить в додатньому напрямку (проти годинникової стрілки) n квадрантів комплексної площини.

V() V() V()

n=2 n=4 n=6

U() U() U()

Рис. 3.1 Годографи стійких систем

V() V() V()

n=2 n=4 n=6

U() U() U()

Рис. 3.2 Годографи нестійких систем

АФХ замкнутої системи описується виразом:

W_з(jω) = W_р(jω) / [1 + W_р(jω)]. (3.8)

Позначимо знаменник отриманого виразу через W₁(jω).

W₁(jω)=1+W_р(jω)=1+ К_р(jω)/Н_р(jω) = Н(jω)/Н_р(jω), (3.9)

де Н(jω)=К_р(jω)+Н_р(jω) – характеристичний поліном замкненої системи при р= jω.

У відповідності з властивостями передаточних функцій порядок полінома Н(р) не перевищує порядка полінома Н_р(jω), так як Н(р) = К(р) + Н(р), а порядок полінома К_р(р) меньше порядка полінома Н_р(р).

Тому критерій Михайлова для замкненої системи можна записати у вигляді:

Δarg Н(jω) = (n – 2m) π/2, 0 < ω < ∞, (3.10)

де: m – число правих коренів системи, яка в замкненому стані має характеристичний поліном Н(р) = 0.

Коефіцієнт 2 перед m введений тому, що кожний правий корінь не тільки не забезпечує додатнього повороту вектора, але й створює його від’ємний поворот (за годинниковою стрілкою).

З (3.9) витікає, що arg W₁(jω) = arg H(jω) - arg H_p(jω).

Або, врахувавши (3.8) та (3.10), отримуємо:

arg W₁(jω) = (n – 2m) π/2 - n π/2 = -m π.

В стійкій замкненій системі правих коренів в характеристичному рівнянні немає, тобто m = 0, отже,умовою стійкості замкненої системи буде:

arg W₁(jω) = 0. (3.11)

Q(ω) Q(ω)

φ₁(ω) ω=0

P(ω) P(ω) W₁(jω)

а б

Рис. 3.3 Амплітудно-фазовий критерій стійкості (критерій Найквіста): а – окремий випадок; б – загальний.

Умова (3.11) виконується тільки тоді, коли крива W₁(jω) при зміні частоти від 0 до ∞ не охоплює початку координат на комплексній площині Р(ω); jQ(ω), де Р(ω) – дійсна частина виразу W₁(jω), Q(ω)- уявна частина (рис.3.3).

Як видно з (3.9), перехід на комплексній площині від годографа вектора W₁(jω) до годографа вектора АФХ розімкненої системи W_р(jω) здійснюється зсувом кривої W₁(jω) вліво на -1, так як W_р(jω) = W₁(jω) – 1.

Виконавши цю операцію, отримуємо наступне формулювання амплітудно-фазового критерія стійкості – критерія Найквіста: лінійна динамічна система, стійка в розімкненому стані, стійка і в замкненому стані, якщо АФХ розімкненої системи при зміні частоти від 0 до ∞ не охоплює на комплексній площині точку з координатами (-1;j0) (рис. 3.3 а)).

Більш загальне формулювання критерію Найквіста відноситься до систем, які мають так звану АФХ другого роду (рис. 3.3 б)), коли W_р(jω) декілька разів перетинає дійсну вісь зліва від точки Р(ω)=1. Додатнім будемо вважати перехід годографа через дійсну вісь, якщо він здійснюється знизу вгору. Тоді формулювання критерію Найквіста приймає вигляд: лінійна динамічна система, стійка в розімкненому стані, стійка і в замкненому стані, якщо при зміні частоти від 0 до + ∞ різниця між числом додатніх переходів годографа АФХ розімкненої системи через ділянку дійсної осі (-1, 0) та числом від’ємних переходів рівна нулю. З цієї умови видно, що система, стійка в розімкненому стані і яка має АФХ в формі кривої, показаної на рис.3.3б), стійка і в замкненому стані.

Q(ω)

В

-1

Р(ω)

А

3 2 1 а

L,φ 1 L,φ 2 L,φ 3

L(ω) L(ω) L(ω)

Ω ω ω φ(ω) φ(ω) φ(ω)

б в г

Рис 3.4. Логарифмічний критерій стійкості

Логарифмічний критерій стійкості.

Цей критерій заснований на зв’язку властивостей стійкої замкненої динамічної системи з формою ЛАФЧХ розімкненої системи (рис3.4).

У відповідності з критерієм Найквіста стійка розімкнена система, яка має АФХу формі кривої 1, стійка з запасом по фазі, що дорівнює α. При цьому під запасом по фазі розуміється кут між від’ємними напрямами дійсної осі й прямої, яка з’єднує початок координат з точкою А – точкою перетину АФХ розімкненої системи з окружністю одиничного радіуса.

Система, яка має в розімкненому стані АФХ в формі кривої 2, будучи стійкою в розімкненому стані, в замкненому стані знаходиться на межі стійкості (запас по фазі дорівнює нулю). Накінець, розімкнена стійка система, яка має АФХ в формі кривої 3, в замкненому стані буде нестійкою з недоліком фази, що відповідає кривій 2. Аналізуючи форми ЛАФЧХ для стійких і нестійких систем, можеа сформулювати наступний логарифмічний критерій стійкості: динамічна лінійна система, стійка в розімкненому стані, стійка і в замкненому стані, якщо на всьому діапазоні частот, на якому L(ω)>0, значення фази φ(ω)>-180° . Під частотою зрізу ω_зр розуміється частота, при якій L(ω) перетинає вісь частот.

Для стійких розімкнених лінійних систем, які мають АФХ другого роду (рис 3.3 б)), логарифмічний критерій стійкості може бути сформульований так: лінійна динамічна система, стійка в розімкненому стані, буде стійкою і в замкненому стані, якщо на всьому діапазоні частот, на якому L(ω) > 0, кількість додатніх переходів фазової характеристики (ФХ) через лінію OX рівна кількості від’ємних переходів (рис 3.5).

L(ω)

0 ω

φ(ω) (+) α

(-)

Рис 3.5 Загальний випадок логарифмічного критерія стійкості

Виділення областей стійкості. Критерій Вишнеградського.

При налагоджуванні та експлуатації лінійних динамічних систем виникає необхідність змінювати окремі параметри системи, отже, неодноразово перевіряти систему на стійкість. Тому важливе значення мають методи, які дозволяють визначити область зміни тих чи інших параметрів, припустиму з точки зору умов стійкості. Так як коефіцієнти характеристичного рівняння системи визначаються через її параметри,то поставлена задача визначення припустимого по умовам стійкості діапазона зміни коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Така задача для діапазона зміни двух параметрів була вперше поставлена і вирішена російським інженером та вченим І.А. Вишнеградським. Результат розв’язку відомий під назвою діаграми Вишнеградського, які широко і успішно застосовуються на практиці аналізу та синтезу лінійних систем автоматичного управління.

Критерій Вишнеградського обгрунтований для систем, які описуються лінійними рівняннями третього порядку, але ідеї, закладені в цьому критерії, дуже вплинули на розвиток теорії стійкості лінійних динамічних систем.

Нехай є система, характеристичне рівняння якої має вигляд

а₀ р³ + а₁ р² + а₂ р + а₃ = 0 , (3.12)

або р³ + с₁ р² + с₂ р + с₃ = 0 . (3.13)

де: с₁ = а₁ / а₀ ; с₂ = а₂ / а_{0 ;} с₂ = а₃ / а₀.

Зробимо підстановки р = Z³v c₃; c₁ = X ³v c₃; c₂ = Y ³v c₃² або Z = p/ ³v c₃; X = c₁/ ³v c₃; Y = c₂/ ³v c₃².

З урахуванням цих позначень рівняння (3.13) прийме вигляд:

Z³ + X Z³ + YZ + 1 = 0.

Якщо система знаходиться на межі стійкості, то рівняння (3.13) буде мати один дійсний від’ємний корінь та два уявних кореня:

р₁ = - α; р₂ = - jβ; р₃ = jβ.

Ліву частину рівняння (3.13) можна розкласти на множники:

р³ + с₁ р² + с₂ р + с₃ = р³ + р²α рβ² + αβ²

Прирівнюючи в цьому рівнянні коефіцієнти при однакових ступенях р, знаходимо с₁ = α, с₂ = β², с₃ = αβ².

З урахуванням цих співвідношень справедливо:

с₁ с₂ – с₃ = 0 (3.14)

Виразивши в (3.14) коефіцієнти через X і Y, отримаємо

XY – 1 = 0, тобто XY = 1 . (3.15)

Це рівняння є рівнянням гіперболи, коефіцієнти якого виражені через коефіцієнти характеристичного рівняння системи, тобто через її параметри. При цьому, як слідує з приведених міркувань, всі точки в площині Y,Z, які лежать на гіперболі (3.15), відповідають таким значенням параметрів системи, при яких ця система знаходиться на межі стійкості. Геометричне місце точок на площині параметрів лінійної динамічної системи, яка описується диференціальним рівнянням третього порядку, відповідне стану системи на межі стійкості, називається гіперболою Вишнеградського – рівняння (3.15). Гіпербола Вишнеградського розбиває площину Y, X на дві області: XY < 1 (область І) і XY > 1 (область ІІ). Для з’ясування питання про стійкість системи з параметрами, які лежать в областях І і ІІ, приймемо в рівнянні (2.73) с₃ = 0. Тоді отримаємо: р=0; р² + с₁ р + с₂ = 0. Друге рівняння буде мати корені з від’ємними дійсними частинами при умові: с₁>0; с₂>0. Враховуючи, що с₃=0, приходимо до висновку, що два кореня мають від’ємні дійсні частини при умові:

с₁ с₂ – с₃ > 0. (3.16)

Ця умова залишається справедливою й у випадку, коли с₃ відрізняється від нуля, так як при малій зміні с₃ корені рівняння (3.15) змінюються мало, згідно теореми про неперервність залежності коренів характеристичного рівняння від його коефіцієнтів. Отже, умова (3.16) є умовою стійкості системи, яка, з урахуванням значень с₁, с₂, с₃, може бути замінена умовою: XY > 1.

Таким чином, область параметрів системи, розташована вище гіперболи Вишнеградського, відповідає області стійкості, а область, розташована нижче гіперболи - нестійка область.

На основі сказаного критерій стікості Вишнеградського формулюється так: лінійна динамічна система, яка описується диференційним рівнянням третього порядку, стійка, якщо про додатніх коєфіцієнтах характеристичного рівняння виконується умова XY > 1.

Стійку область на діаграмі Вишнеградського можна розбити на ряд підобластей з однаковим характером стійкого перехідного процесу. Наприклад, аналіз рівняння (3.16) з умов наявності трьох дійсних від’ємних коренів дозволяє виділити криву ECD, яка описується рівнянням 4(x³ + y³) – x² y² – 18xy + 27 = 0, яка на діаграмі виділяє область ІІІ. В межах цієї області параметри системи забезпечують від’ємні дійсні корені, тобто забезпечують аперіодичний перехідний процес в системі.

Розмірковуючи анатогічно, можна отримати рівняння кривої FCE (2x³ – 9xy + 27 = 0),яка виділяє в площині X, Y область IV з параметрами системи, які забезпечують один дійсний від’ємний корінь та два комплексних кореня з від’ємною дійсною частиною. При цьому дійсні частини комплексних коренів по абсолютному значенню більше дійсного кореня, що відповідає монотонним перехідним процесам. Накінець, в області ІІ має місце один дійсний від’ємний корінь та два комплексних кореня з від’ємною дійсною частиною. При цьому дійсний корінь по абсолютному значенню більший дійсних частин комплексних коренів, що відповідає коливальним перехідним процесам.

Таким чином, діаграма Вишнеградського представляє собою площину двух параметрів лінійної динамічної системи третього порядку з виділеними стійкими та нестійкими областями парметрів системи та областями, які відповідають аперіодичним та коливальним перехідним процесам. По діаграмі легко визначається діапазон зміни двух параметрів лінійної динамічної системи, який забезпечує той чи інший перехідний процес в системі.

Виділення областей стійкості на площині лінійної динамічної системи, яка описується диференційним рівнянням n-го порядку, здійснюється на базі загального методу D – розподілу, який розглядається в спеціальних курсах по теорії автоматичного управління. Цей метод базується на аналізі характеристичного рівняння лінійної системи. Він дозволяє порівнянно легко визначити припустимі з точки зору стійкості діапазони зміни одного чи двух коефіцієнтів характеристичного рівняння, які виражаються через параметри системи.

Контрольні запитання до лекцйї 3

1. Яким чином реалізується лінеарізація рівнянь?

2. Вкажіть на особливості математичного опису лінійних систем автоматичного управління?

3. Як відбувається ідентифікація об'єктів управління?

4. Що таке управляємість і споглядання?

5. Використання перетворень Лапласа і Фурье для укладання і рішення динаміки елементів і систем автоматичного управління.

6. В чому суть практичного використання алгебраїчного критерія Рауса?

7. Аналіз стійкості лінійної системи за критерієм Гурвіца.

8. Яким чином і коли необхідно використовувати частотний критерій стійкості – критерій Михайлова?

9. Що представляє собою діаграма Вишнеградського?