1. Які типові з’єднання елементів та їх передаточні функції ви знаєте?

2. Що таке передаточні функції лінійних динамічних систем? Їх характеристика.

3. Яким чином характеризується послідвне з’єднання ланок?

4. Які особоливості паралельного з’єднання ланок?

5. З якою метою передаточна ланка охоплюється зворотним зв’язком? Види цих зв’язків.

Лекція 2. Математичні моделі ланок лінійних динамічних систем.

Лінійними називаються системи управління, які і в статиці і в динаміці описуються лінійними рівняннями. Одна з основних особливостей лінійних систем заключається в тому, що до них застосовується принцип суперпозиції, згідно з яким реакція системи на сукупність збурень визначається сумою реакцій на кожне збурення, яке прикладається до системи в момент часу, що розглядається.

Реальні системи управління, особливо складні – нелінійні. До лінійного опису можна умовно звести тільки невеликий клас динамічних систем, але і в цих випадках властивості реальних систем лише наближено відображуються їх лінійними моделями. Однак, недивлячись на обмеженість лінійних моделей, їх роль в теорії управління дуже велика, бо припущення про лінійність систем управління в ряді випадків не призводить до неприпустимих похибок, з однієї сторони, а з іншої – суттєво спрощує дослідження систем. Крім того, методи дослідження реальних нелінійних систем управління значною мірою базуються на методах дослідження лінійних систем.

Теорія управління лінійними системами розроблена достатньо глибоко і розпоряджається ефективними і простими методами аналізу та синтезу систем управління, в основному систем автоматичного управління та регулювання. Слід підкреслити, що лінійна теорія управління дозволяє вивчити лінійні моделі реальних процесів та об’єктів, а не самі процеси та об’єкти.

Динамічні режими лінійних систем досліджуються за допомогою їх математичних моделей. При цьому будь-яку динамічну лінійну систему можна представити у вигляді сукупності таких типових структурних ланок: аперіодичних, коливальних, інтегруючих, диференціюючих та підсилюючих. Кожна з названих ланок достатньо повно характеризується формою диференціального рівняння, видом передаточної та видом перехідної функції.

Диференціальне рівняння ланки визначає зв’язок між його вихідними та вхідними величинами в динамічних режимах.

Передаточна функція ланки W(p) представляє собою відношення перетвореною за Лапласом вихідної величини ланки до перетвореної за Лапласом вхідної величини при нульових початкових умовах:

W(p) = х_вих(р) / х_вх(р). (2.1)

Перехідна функція h(t) показує характер перехідного процесу в ланці, на вході якої прикладений одиничний вхідний вплив:

h(t) = х_вих(t), при х_вх(t) = [1]. (2.2)

Вказані характеристики ланки є важливими елементи апарату дослідження динамічних лінійних систем. Розглянемо ці характеристики для кожної з типових структурних ланок.

Аперіодична ланка

Аперіодичною називається ланка, в якій зв’язок між вихідною та вхідною величинами виражається рівнянням:

Tdx_вих / dt + х_вих = kх_вх, (2.3)

де: k – коефіцієнт підсилення ланки; Т – постійна часу ланки, с.

Величини k і Т виражаються через фізичні параметри конкретної структурної ланки.

Застосовуючи до рівняння (3) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах, отримаємо передаточну функцію аперіодичну функцію аперіодичної ланки:

W(p) = x_вих(p) / x_вх(p) = k / (Tp+1). (2.4)