Аудиторные задания

№9. Написать первые пять членов последовательности {x_n}, если .

№10. Зная несколько первых членов последовательности {x_n}, написать формулу её общего члена: 1, , , , … Определить какие из последовательностей {x_n} ограничены:

№11. . Ответ: неограниченная.

№12. x_n= –ln n; Ответ: ограничена сверху.

Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные:

№13. . Ответ: убывающая.

№14. . Ответ: неубывающая.

№15. Используя определение, доказать, что последовательность бесконечно малая .

№16. Используя определение предела, доказать, что последовательность сходится к числу 1.

Написать первые пять членов последовательности {x_n}, если:

№17. x_n=.

№18. x_n=.

Зная несколько первых членов последовательности {x_n}, написать формулу её общего члена:

№19.

№20.

№21.  –1, 2, –3, 4, –5, …

Какие из последовательностей {x_n} ограничены:

№22. x_n=n³+2n. Ответ: ограничена снизу.

№23. . Ответ: ограниченная.

Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные:

№24. .

Ответ: строго возрастающая, ограниченная.

№25. .

Ответ: строго убывающая, ограниченная сверху.

№26. Пусть {x_n}={n}, — две последовательности.

Найти последовательности {x_n+y_n}, {x_n – y_n}, , .

№27. Доказать, что данная последовательность бесконечно малая: x_n=.

№28. Доказать, что данная последовательность бесконечно большая: x_n=n².

№29. Пользуясь определением последовательности доказать, что .

Домашние задания

Найти первые четыре члена последовательности {x_n}, если:

№30. .

№31. x_n=1.

№32. .

№33. x₁=2, x_n=|x_n – 1 – 2|.

№34. x_n=n!, где .

Зная несколько первых членов последовательности {x_n}, написать формулу его общего члена:

№35. 2, 5, 10, 17, 26, …

№36.  –1, 1, –1, 1, –1, …

№37.

№38.

Какие из последовательностей {x_n} ограничены, если:

№39. x_n=sin x. Ответ: ограниченная.

№40. . Ответ: ограниченная сверху.

№41. . Ответ: ограниченная снизу.

№42. . Ответ: неограниченная.

Найти последовательности и , если:

№43. x_n=n, y_n=1;

№44. x_n=n², y_n=n.

Доказать, что данная последовательность бесконечно малая:

№45. x_n=.

№46. x_n=.

Доказать, что данная последовательность бесконечно большая:

№47. x_n=.

№48. x_n=2ⁿ.

Пользуясь определением последовательности доказать:

№49. .

№50. .

Занятие 3

Предел функции.

Раскрытие неопределённостей вида ,

Цели

Знать:

• Определение предела;

• признаки существования пределов;

• основные теоремы о пределах.

Уметь:

• Применять основные теоремы о пределах;

• применять признаки существования пределов при вычислении предела функции;

• вычислять пределы, раскрывая неопределённости вида, .

Определение («на языке последовательностей», или по Гейне)

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀ (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, , сходящейся к х₀ (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(x_n), сходится к числу А (т.е. ).

Определение (на «языке ε-δ», или по Коши»)

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀ (или при , т.е. ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

(22).

Следствие. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

(23).

Теоремы 1 и 2 справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

(24).

Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

(25).

Следствие. (26).

Теорема. Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, () (27).

При нахождении пределов применяют соотношения:

, (k=const); ;

; ;

;

;

(28).

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х₀), при этом:

• если данное выражение имеет смысл, то предел равен этому выражению;

• если в результате вычислений нет неопределённостей, воспользуемся одним из соотношений (28).

№9. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) .

► 1) Применяя теоремы о пределах, получаем:

==

=;

2) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: =;

3) Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю (в знаменателе есть бесконечно малая величина при ). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины , отличной от нуля, на бесконечно большую величину при как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому . ◄

Постановка задачи. Найти , где или .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х₀), если в результате вычислений получилась неопределённость или , следует применить соответствующие правила для раскрытия данных неопределённостей.

Неопределённость вида