Операции над пределами последовательностей

1. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов:

, (17).

2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

, (18).

В частности:

• постоянный множитель можно выносить за знак предела:

, (19);

• предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от её предела:

, k=1, 2, 3, … (20);

• предел корня k-й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:

, k=2, 3, 4, … (21).

№4. Написать первые четыре члена последовательности {x_n}, если: 1) ; 2) х₁=1, x_n=x_n – 1+2.

► 1) Подставляя последовательно n=1, 2, 3, 4, … в формулу для общего члена последовательности, найдем: х₁= –1; ; ; ;

2) В соответствии с формулой x_n=x_n – 1+2 получим: х₂=х₁+2=3, х₃=х₂+2=5, х₄=х₃+2=7. ◄

№5. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху? снизу? ограничены?

1) 2; 4; 6; 8; …

2) –1; –4; –9; –16; …

3) –2; 4; –8; 16; ….

► 1) Данная последовательность, состоящая из всех чётных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху;

2) x_n= – n²<0 (n=1, 2, 3, …), последовательность ограничена сверху, но не ограничена снизу;

3) x_n=( –2)ⁿ не ограничена, так как для любого числа M>0 можно найти такой номер n, что |x_n|=2 ⁿ>M. ◄

№6. Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные: 1) x_n=2n+1; 2) –1; –1; –2; –2; –3; –3; …

► 1) данная последовательность строго возрастает, т.к. x_n+1=2(n+1)+1=2n+3>2n+1=x_n для всех натуральных чисел n;

2) данная последовательность невозрастающая, так как , n=1, 2, … и некоторые (например, первый и второй) члены этой последовательности равны между собой. ◄

№7. Доказать, что есть бесконечно малая.

► Запишем последовательность значений:

–1, –, –, –, …, , …

отсюда видно, что с возрастанием n значения переменной x_n приближаются к нулю так, что с некоторого номера N абсолютные значения переменной будут меньше любого наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа . Докажем это. Пусть дано >0, тогда или <, отсюда n>, следовательно, можно принять номер N>, при значении которого для любых номеров nN будет выполняться неравенство . Пусть, например, ε=0,01, тогда для всех nN, где .

Если ε=, то , т.е. можно принять номер N=3. Следовательно, значения переменной по абсолютной величине для всех номеров . Это и означает, что переменная x_n есть бесконечно малая величина. ◄

Постановка задачи. Пользуясь определением последовательности, доказать, что .

План решения. 1. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для , . Это означает, что неравенство имеет решение для .

2. Найти, при каких n справедливо неравенство , т.е. решить это неравенство относительно n.

3. Если решение имеет вид , то а — предел числовой последовательности {x_n}.

⋙Если решение неравенства нельзя представить в виде , то число а не является пределом последовательности {x_n}.

№8. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что.

► 1. По определению число а =2 называется пределом числовой последовательности , если .

2. Найдём, при каких n справедливо неравенство , т.е. решим это неравенство относительно n.

3. Неравенство имеет решение . Следовательно, 2 — предел числовой последовательности . ◄