Занятие 7 Непрерывность функции

Цели

Знать:

• Определения: непрерывность функций; непрерывность функции в точке, интервале и на отрезке;

• основные теоремы о непрерывных функциях и свойства функций, непрерывных на отрезке;

• классификацию точек разрыва.

Уметь:

• Определять точки разрыва функции.

▼ Пусть функция y =f (x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y =f (x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

(32). ▲

▼ Функция y =f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(33). ▲

▼ Функция y =f (x) называется непрерывной в точке х₀, если её левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т.е.

(34). ▲

⋙При нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f (x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀:

lim sin x=sin(lim x);

lim arctg x=arctg (lim x); (35)

lim lg x=lg (lim x).

Постановка задачи: Дана функция y =f (x), пользуясь определением непрерывности функции доказать, что функция непрерывна в произвольной точке х₀ области определения данной функции.

План решения: Проверить выполнение условий непрерывности функции y =f (x) в точке х₀:

• значение функции в точке х = х₀ есть определённое число равное значению f (x₀);

• предел функции y =f (x) при стремлении х к х₀ как слева, так и справа, есть одно и то же определённое число ;

• числа и f (x₀) равны.

Если хотя бы одно из условий не выполнено, то функция y = f (x) в точке х₀ имеет разрыв.

№16. Пользуясь определением непрерывности функции доказать, что функция у=х² непрерывна в произвольной точке .

 Пусть — приращение аргумента в точке х₀. Найдём соответствующее приращение функции:

==

==.

Теперь, применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:

==

=.

Таким образом, , что и означает (по определению) непрерывность данной функции в точке . ◄

№17. Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х₀=0, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции f (x).

► Найдём односторонние пределы в точке х₀=0. Слева от точки х₀ имеем f (x)=0, поэтому . Аналогично, .

Кроме того, f (x₀) = f (x)=1, откуда следует, что . Это означает, что в точке х₀=0 не выполнены все условия непрерывности функции, но функция f (x) непрерывна справа в этой точке.

рис.1

График функции изображен на рис.1. ◄

Постановка задачи: Исследовать на непрерывность функцию y = f (x) в точке х₀.

План решения: Найти односторонние пределы функции y = f (x) в точке х₀, т.е. и , при этом:

• если, А₁=А₂, то точка х₀ — точка устранимого разрыва;

• если , то х₀ — точка конечного разрыва;

• если, по крайней мере, один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности, то точка х₀ — точка разрыва второго рода.

№18. Исследовать на непрерывность функцию

► Функция у = х, у = sin x и у =1 непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется её аналитическое выражение, т.е. в точках и .

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдём соответствующие односторонние пределы и значения функции.

В точке имеем:

,

,

.

Таким образом, в точке функция имеет разрыв 1-го рода и непрерывна слева.

Скачок функции f (x) в точке равен .

Для точки имеем:

,

,

а значение не определено. Отсюда следует, что — точка устранимого разрыва. ◄

№19. Установить характер разрыва функции в точке х₀=2.

► Находим: , , т.е. функция в точке х₀=2 не имеет ни одного из односторонних пределов. Отсюда следует, что х₀=2 — точка разрыва 2-го рода. ◄