Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Аналитическая геометрия.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
09.12.2018
Размер:
1.32 Mб
Скачать

Занятие 4 Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям. Параметрические уравнения линий

Цели

Знать:

  • Основные способы преобразования прямоугольных координат;

  • уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям.

Уметь:

  • переходить от одной прямоугольной системы координат к другой;

  • строить параллельно-смещённую кривую второго порядка по её уравнению.

Уравнения смещённых кривых второго порядка имеет вид:

— эллипс;

— гипербола,

где (х0у0) — координаты центра кривой.

Уравнения смещённой параболы:

,

,

,

где (х0;у0) — координаты вершины параболы.

Теорема. Уравнение вида

всегда определяет:

  • окружность (при А=С),

  • эллипс (при ),

  • гиперболу (при ),

  • параболу (при ).

При этом возможны случаи вырождения:

  • для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность),

  • для гиперболы — в пару пересекающихся прямых,

  • для параболы — в пару параллельных прямых.

Пусть относительно системы декартовых прямоугольных координат на плоскости задана некоторая линия. Эту линию можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки М(ху) изменяется по закону x=x(t), а ордината — по закону y=y(t), где t параметр, то уравнение линии записывается в виде:

(38)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями линии.

Составить уравнение линии на плоскости в выбранной системе координат — это, значит, составить такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек, которые на этой линии не лежат.

Постановка задачи: Составить уравнение линии на плоскости.

План решения: 1. Выбрать на плоскости систему координат;

2. на линии, уравнение которой выводится, взять произвольную точку с координатами (ху). Основываясь на заданном свойстве всех точек, лежащих на линии, составить уравнение, связывающее координаты произвольной точки с некоторыми постоянными величинами, данными в задаче. Найденное уравнение и будет искомым.

13. Даны точка А(1; 0) и прямая х=2. В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка М(ху) которой:

1) в два раза ближе к точке А, чем к данной прямой;

2) в два раза дальше от точки А, чем от заданной прямой;

3) равноудалена от точки А и от прямой х=2.

► 1) Пусть М — точка искомой линии (рис 13).

рис.13

По условию 2МА=МN.Отсюда, так как N(2; y), то

;

;

4х2 – 8х+4+4у2=х2 – 4х+4;

3х2 – 4х+4у2=0;

;

;

;

домножим на , имеем:

— уравнение эллипса, который смещён относительно системы координат XОY, таким образом, что центр эллипса находится в точке , точка А — совпадает с правым фокусом, х=2 — правая директриса.

2) По условию МА=2МN. Отсюда, так как N(2; y), то

;

х2 – 2х+1+у2=4х2 – 16х+16;

3х2 – 14х – у2+15=0;

;

;

домножим данное выражение на , имеем:

— уравнение гиперболы, которая смещёна относительно системы координат XОY, таким образом, что центр гиперболы находится в точке , точка А совпадает с её левым фокусом, х=2 — левая директриса.

3) По условию МА=МN. Отсюда, так как N(2; y), то

;

х2 – 2х+1+у2=х2 – 4х+4;

у2= –2х+3;

— уравнение параболы, которая смещёна относительно системы координат XОY, таким образом, что вершина находится в точке , точка А совпадает с фокусом, прямая х=2 — директриса. ◄