Занятие 4 Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям. Параметрические уравнения линий

Цели

Знать:

• Основные способы преобразования прямоугольных координат;

• уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям.

Уметь:

• переходить от одной прямоугольной системы координат к другой;

• строить параллельно-смещённую кривую второго порядка по её уравнению.

Уравнения смещённых кривых второго порядка имеет вид:

— эллипс;

— гипербола,

где (х₀; у₀) — координаты центра кривой.

Уравнения смещённой параболы:

,

,

,

где (х₀;у₀) — координаты вершины параболы.

Теорема. Уравнение вида

всегда определяет:

• окружность (при А=С),

• эллипс (при ),

• гиперболу (при ),

• параболу (при ).

При этом возможны случаи вырождения:

• для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность),

• для гиперболы — в пару пересекающихся прямых,

• для параболы — в пару параллельных прямых.

Пусть относительно системы декартовых прямоугольных координат на плоскости задана некоторая линия. Эту линию можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки М(х; у) изменяется по закону x=x(t), а ордината — по закону y=y(t), где t — параметр, то уравнение линии записывается в виде:

(38)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями линии.

Составить уравнение линии на плоскости в выбранной системе координат — это, значит, составить такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек, которые на этой линии не лежат.

Постановка задачи: Составить уравнение линии на плоскости.

План решения: 1. Выбрать на плоскости систему координат;

2. на линии, уравнение которой выводится, взять произвольную точку с координатами (х; у). Основываясь на заданном свойстве всех точек, лежащих на линии, составить уравнение, связывающее координаты произвольной точки с некоторыми постоянными величинами, данными в задаче. Найденное уравнение и будет искомым.

№13. Даны точка А(1; 0) и прямая х=2. В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка М(х; у) которой:

1) в два раза ближе к точке А, чем к данной прямой;

2) в два раза дальше от точки А, чем от заданной прямой;

3) равноудалена от точки А и от прямой х=2.

► 1) Пусть М — точка искомой линии (рис 13).

рис.13

По условию 2МА=МN.Отсюда, так как N(2; y), то

;

;

4х² – 8х+4+4у²=х² – 4х+4;

3х² – 4х+4у²=0;

;

;

;

домножим на , имеем:

— уравнение эллипса, который смещён относительно системы координат XОY, таким образом, что центр эллипса находится в точке , точка А — совпадает с правым фокусом, х=2 — правая директриса.

2) По условию МА=2МN. Отсюда, так как N(2; y), то

;

х² – 2х+1+у²=4х² – 16х+16;

3х² – 14х – у²+15=0;

;

;

домножим данное выражение на , имеем:

— уравнение гиперболы, которая смещёна относительно системы координат XОY, таким образом, что центр гиперболы находится в точке , точка А совпадает с её левым фокусом, х=2 — левая директриса.

3) По условию МА=МN. Отсюда, так как N(2; y), то

;

х² – 2х+1+у²=х² – 4х+4;

у²= –2х+3;

— уравнение параболы, которая смещёна относительно системы координат XОY, таким образом, что вершина находится в точке , точка А совпадает с фокусом, прямая х=2 — директриса. ◄