Задание 5. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями:

► Выберем достаточное количество значений параметра t, вычислим соответствующие значения х, у. Построим соответствующие точки в декартовых координатах. Соединим их плавной линией. Очевидно, что полученная кривая является эллипсом с полуосями а=3, b=2 и центром в точке С(1; 2). Для строго доказательства того, что данные параметрические уравнения определяют эллипс с указанными осями и центром, избавимся от параметра t:

Возведём в квадрат оба уравнения системы и сложим их, откуда

. ◄

Контрольные вопросы

Метод координат на плоскости

1. В каких четвертях могут быть расположены точки М(х; у), если:

a) x y>0;

b) x y<0;

c) y=0;

d) x – y>0;

f) x+y=0?

2. Точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) служат смежными вершинами ромба, диагонали которого параллельны осям координат. Как выразить координаты остальных вершин через координаты данных точек?

3. Как расположены точки, имеющие одну и ту же проекцию на ось ОХ ? на ось ОY?

Уравнения прямой на плоскости

4. Проходит ли прямая 3х – 2у=0 через: а) начало координат; б) вторую четверть?

5. Всякая ли прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением вида: а) ax+by+c=0; б) y=kx+1?

6. Верно ли, что уравнение ax+by+c=0 всегда является уравнением некоторой прямой?

7. При каких значениях p прямая

а) параллельна оси OY; б) проходит через начало координат?

8. Может ли угол наклона прямой к оси ОX равняться:

а) ; б) ?

9. При каком значении k прямая y=kx+b:

а) параллельна оси ОX; б) под углом ?

10. 7. При каком значении b прямая y=kx+b: а) проходит через начало координат; б) пересекает ось в точке с ординатой –5?

11. Какой геометрический смысл имеют коэффициенты k и b в уравнении y=kx+b?

12. Верно ли, что прямые y=3x – 2 и y= –3x+2:

а) параллельны; б) перпендикулярны?

13. Что можно сказать об угловых коэффициентах:

а) пересекающихся прямых; б) параллельных прямых?

14. Каково взаимное расположение двух прямых:

а) имеющих одинаковые угловые коэффициенты и общую точку; б) угловые коэффициенты которых не равны.

15. Доказать, что условие принадлежности трёх точек М₁(х₁; у₁), М₂(х₂; у₂), М₃(х₃; у₃) одной прямой можно записать в виде .

16. Какова должна быть зависимость между коэффициентами А и В, чтобы прямая Ax+By+C=0 была отклонена к оси ОX под углом ?

17. При каком значении k прямая x+y+k²-2k+1=0 проходит через начало координат?

18. Прямая y=3x+b пересекает ось ОX в точке с абсциссой а=4. Чему равен параметр b?

19. Является ли уравнение уравнением прямой в отрезках? Какие отрезки отсекает она на осях координат?

20. Можно ли подобрать коэффициенты и так, чтобы прямые 5х – 3у+1=0 и совпадали?

21. Какой угол образует прямая с положительным направлением оси ОY? оси ОX?

22. Какая должна быть зависимость между коэффициентами a и b, чтобы прямая образовывала с осью ОY угол

23. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a и b, чтобы прямые ax+by+1=0, x – y+5=0 и y=1 проходили через одну точку?

24. При каком значении α прямые и взаимно перпендикулярны?