§ 2. Понятие функции

Одним из основных понятий математики является понятие функции. Оно связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Определение. Если каждому элементу соответствует единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция (- знак функции).

Переменную называют аргументом или независимой переменной, а переменную – зависимой переменной от х; множество – областью определения функции , а множество – множеством значений функции , – закон соответствия. – множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Кроме буквы для обозначения функций используют и другие буквы греческого и латинского алфавитов: , , , и так далее.

Примеры.

1) , .

2) , .

3) или , .

4) , .

Если элементами множеств и являются действительные числа, то функция называется числовой.

Частное значение функции при обозначают так:.

Например,

График функции – это множество точек плоскости с координатами , где , для каждой из которых является значением аргумента, а является соответствующим значением функции.

Способы задания функции.

1. Аналитический: функция задается с помощью одной или нескольких формул, или уравнений.

Если область определения функции не указана, то она совпадает со множеством всех значений аргумента, при которых указанная формула имеет смысл.

2. Графический: задается график.

3. Табличный: с помощью таблицы ряда значений аргумента и соответствующих значений функции, полученных в результате некоторого опыта.

4. Словесный: функция описывается правилом ее составления.

Например, функция Дирихле , если

, если – иррациональное.

§ 3. Основные характеристики функции

1.Функция , определенная на множестве , область опреления которой симметрична относительно начала координат, называется: четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и . В противном случае функция называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например, функция - четная, а функция –функция общего вида.

2. Пусть функция определена на множестве , интервал .

Если для любых и из интервала, причем , выполняется неравенство:

1) , то функция называется неубывающей на ;

2) , то функция называется невозрастающей на ;

3) , то функция называется возрастающей на ;

4) , то функция называется убывающей на .

Во всех рассмотренных случаях функции называются монотонными, а возрастающая и убывающая функции строго монотонными.

Например, на рисунке функция на строго монотонная;

на монотонная.

3. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве с периодом , где – положительное число, если выполняются условия: и . Если – период, то периодом функции также будут числа , где

Например, для функции периодами будут числа

4. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство . Коротко можно записать так:

.

График ограниченной функции расположен между прямыми и . Например, функция ограничена, так как .