-
Производная неявной функции
Пусть функция
задана неявно,
т.е уравнением
,
неразрешенным относительно
.
Чтобы найти производную от
по
,
нужно продифференцировать это уравнение,
учитывая, что
является
функцией от
.
Затем из полученного выражения выразить
.
Пример 1. Найти
производную
функции
.
Найдем производные
по
от каждой части уравнения.
.
Пример 2. Найти
производную второго порядка
от функции, заданной неявно:
1) Найдем
:
,
.
2) Найдем
:
,
заменим
.
11.6. Производная функции, заданной параметрически
Будем говорить,
что переменная
как функция аргумента
задана параметрически,
если обе переменные
и
заданы как функции некоторой третьей
переменной
:
,
где
– параметр
(дополнительная переменная).
Предположим, что
существуют
и
,
а функция
имеет обратную функцию
.
Тогда
.
В этом случае,
параметрически заданную функцию можно
рассматривать как сложную функцию
.
Тогда
.
Производная второго порядка находится по формуле :
или
.
Пример 1.
Функция задана параметрически:
.
Найти производную
второго порядка по
.
.
Пример 2.
Функция задана параметрически:
.
Найти производную
второго порядка по
.
.
§ 12. Дифференциал функции
Пусть функция
имеет отличную от нуля производную
.
Тогда по теореме
о связи функции, ее предела и б.м.ф.
можно записать
,
где
при
.
– это сумма двух
б.м.ф. при
.
При этом первое слагаемое б.м.ф
одного
порядка с
,
а второе слагаемое б.м.ф
более
высокого порядка, чем
.
Поэтому первое
слагаемое
является главной
частью приращения функции
и называется дифференциалом
первого порядка функции
в точке
.
Обозначают
дифференциал так:
или
.
Дифференциал
равен произведению производной функции
и приращения аргумента
.
Найдем дифференциал аргумента
.
Следовательно,
.
Геометрический смысл дифференциала первого порядка.
Следовательно,
дифференциал первого порядка функции
в точке
– это
приращение
ординаты касательной, проведенной к
графику функции в точке
.
Если
,
то
.
Последнее равенство можно использовать
для приближенного вычисления значения
.
Пример 1.
Вычислить
.
Пусть
.
Тогда
§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
1. Теорема Ферма. (Ферма Пьер (1601–1665гг.) – французский математик).
Пусть функция
определена
на интервале
;
в некоторой точке
этого интервала она принимает наибольшее
или наименьшее значение.
Тогда, если в точке
существует
конечная производная, то она равна нулю,
т.е.
.
Геометрический смысл теоремы Ферма.
касательная
параллельна оси
.
2. Теорема Ролля. (Ролль Мишель (1652–1719гг.) – французский математик)
Пусть функция
определена
на
,
причем: 1)
непрерывна
на
;
2)
дифференцируема на
;
3)
.
Тогда существует
точка
,
в которой
.