12.6 Системы m линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными вида:

Или

(12.5)

или же в матричной форме

,

где матрица размера имеет компоненты , а столбцы и соответственно компоненты , и .

Определение. Упорядоченный набор чисел будем называть частным решением системы линейных уравнений (12.5), если при подстановке этих чисел в систему мы получаем верные равенства. Частное решение системы линейных уравнений может также быть записано в виде столбца

.

Совокупность всех частных решений системы линейных уравнений (12.5) назовем общим решением системы (12.5).

Определение. Если система (12.5) имеет хотя бы одно частное решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной системой уравнений.

Определение. Матрица называется основной матрицей системы (12.5), а матрица

– расширенной матрицей этой системы.

Определение. Система (12.5) называется однородной, если , в противном случае - неоднородной системой уравнений.

Теорема 12.9 (Кронекера-Капелли) Для того чтобы система (12.5) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной.

Доказательство необходимости.

Пусть существует решение системы (12.5) , тогда эту систему можно представить в виде следующего равенства:

,

где .

Поскольку в этом случае столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов, образующих основную матрицу, то число линейно независимых столбцов основной и расширенной матриц будет одинаковым. Следовательно, по теореме о ранге матрицы .

Доказательство достаточности.

Пусть ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен r. Без ограничения общности предположим, что базисный минор расположен в левом верхнем углу расширенной матрицы, но тогда по теореме о базисном миноре имеет место равенство , которое можно переписать в виде

.

Однако последнее означает, что система (12.5) имеет решение , то есть она совместна.

Теорема доказана.

12.7 Фундаментальная система решений

В предыдущем разделе было показано, что факт совместности или несовместности системы (6.6.1) можно установить, сравнив ранги ее основной и расширенной матриц. Рассмотрим теперь случай, когда система (12.5) совместна и найдем все ее решения.

При построении общего решения системы (12.5) воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями.

Лемма 12.3 Любая линейная комбинация частных решений однородной системы (12.5) также является ее частным решением.

Лемма 12.4 Сумма некоторого частного решения однородной системы (12.5) и некоторого частного решения неоднородной системы является частным решением неоднородной системы (12.5).

Лемма 12.5 Разность двух некоторых частных решений неоднородной системы (12.5) является частным решением однородной системы (12.5).

Замечания 1. Из лемм 12.3–12.5 следует, что

общее решение неоднородной системы уравнений есть общее решение однородной плюс некоторое частное решение неоднородной, и поэтому прежде всего необходимо найти общее решение однородной системы линейных уравнений.

2. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, поскольку у нее есть, по крайней мере, одно частное, называемое тривиальным, решение, для которого все неизвестные имеют нулевое значение.

3. Поскольку частные решения системы линейных уравнений представимы в виде столбцов, то, используя операции сравнения, сложения и умножения на число для столбцов, а также лемму 12.3, можно ввести понятие линейной зависимости решений однородной системы линейных уравнений.

Теорема 12.10 Однородная система (12.5) имеет линейно независимых частных решений.

Определение. Фундаментальной системой решений для системы линейных уравнений (12.5) называется совокупность любых частных, линейно независимых решений однородной системы (12.5), где – число неизвестных в системе (12.5), а – ее основная матрица.

Теорема 12.11 Каждое частное решение однородной системы (12.5) может быть представлено в виде линейной комбинации частных решений, образующих фундаментальную систему решений.

Следствие 1. Общее решение неоднородной системы (12.5) может быть дано формулой

где

является некоторым частным решением неоднородной системы (12.5), а числа – произвольные константы.

Следствие 2. Для того чтобы однородная система (12.5) с имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы удовлетворял условию .

В случае, когда основная матрица однородной системы (12.5) квадратная, условие существования нетривиального решения равносильно равенству .

Теорема 12.12 (Фредгольма) Для того чтобы система (12.5) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопряженной системы

или в матричном виде

удовлетворяло условию

или в матричном виде

.

Доказательство необходимости.

Пусть система уравнений (12.5) совместна, то есть для каждого ее решения справедливо равенство . Найдем произведение в предположении, что

.

Имеем

.

Доказательство достаточности.

Пусть для любого решения системы линейных уравнений . Тогда общие решения систем линейных уравнений и

совпадают, и для этих систем максимальное число линейно независимых решений одинаково. Поэтому, согласно теоремам 12.10 и 12.11,

или ,

но поскольку ранг матрицы не меняется при ее транспонировании, то имеет место равенство , означающее в силу теоремы 12.9 (Кронекера-Капелли) совместность системы линейных уравнений .

Теорема доказана.