12.3. Разложение определителей

Выберем в квадратной матрице -го порядка строки с номерами и столбцы с номерами , где .

Определение. Детерминант квадратной матрицы порядка k, образованной элементами, стоящими на пересечении строк и столбцов , называется минором k-го порядка и обозначается .

Определение. Детерминант квадратной матрицы порядка , образованной элементами, остающимися после вычеркивания строк и столбцов , называется дополнительным минором к минору , и обозначается .

Выберем в матрице i-ю строку и j-й столбец, на пересечении которых расположен элемент . Удалим из выбранные строку и столбец, рассмотрим квадратную матрицу размера .

Определение. Детерминант матрицы называется дополнительным минором элемента .

Сгруппируем в определении детерминанта матрицы

,

все слагаемых, содержащих элемент , и вынесем его за скобки. Получим выражение вида

Определение. Число называется алгебраическим дополнением элемента .

Замечание. По определению детерминанта имеют место равенства

(12.1)

которые можно использовать для вычисления определителей квадратных матриц, находя значения алгебраических дополнений при помощи соотношений, которые устанавливает следующая теорема

Теорема 12.4 Справедливы равенства .

Доказательство.

1. По определению детерминанта

то есть , поскольку очевидно, что , но тогда выражение для совпадает с формулой определителя матрицы порядка , получаемой из вычеркиванием первого столбца и первой строки. Следовательно, .

2. Построим новую матрицу, переместив элемент матрицы в ее левый верхний угол, переставив i-ю строку на первое место, для чего потребуется перестановок, и переставим на первое место j-й столбец, что потребует перестановок. Тогда определитель перестроенной матрицы равен

.

Согласно линейному свойству определителя данное соотношение будет также выполняться и для каждого из его слагаемых, а значит, в силу формул (12.1) и для каждого алгебраического дополнения . Поэтому справедливо равенство

.

3. Наконец, очевидно, что значение дополнительного к минора не зависит от положения в матрице , и потому .

4. Учитывая полученные соотношения

,

приходим к равенству .

Теорема доказана.

Следствие. Разложение определителя по i-му столбцу имеет вид

или

.

Теорема 12.5 Для любой квадратной матрицы имеет место равенство

,

где и

– символ Кронекера

Доказательство.

По определению алгебраического дополнения имеем

то есть утверждение теоремы для случая справедливо.

Пусть теперь . Тогда выражение

можно рассматривать как разложение по s-му столбцу определителя матрицы, у которой s-й столбец совпадает с j-м столбцом. Но такой определитель равен нулю.

Теорема доказана.

Следствие. Если квадратная матрица невырожденна, то элементами ее обратной матрицы являются числа .

12.4. Правило Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(12.2)

Или

(12.3)

Или же в матричной форме

, (12.4)

где квадратная матрица имеет компоненты , а столбцы и – соответственно компоненты и .

Определение. Упорядоченный набор чисел будем называть решением системы линейных уравнений, если при подстановке этих чисел в каждое из уравнений системы мы получаем тождество.

Теорема 12.5 (правило Крамера) Для того чтобы система линейных уравнений (12.2) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы и в этом случае решение данной системы будет иметь вид

,

где – определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой ее i-го столбца на столбец свободных членов :

i-й столбец