МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Омский государственный технический университет

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

И ВВЕДЕНИЮ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Методические указания

для студентов заочной формы обучения

Омск-2004

Составители: Кичигина Раиса Сергеевна, старший преподаватель;

Хаустова Нина Михайловна, старший преподаватель

Данные методические указания предназначены для студентов-заочников первого курса, обучающихся на технических специальностях ОмГТУ. Они содержат варианты контрольных заданий по аналитической геометрии и введению в математический анализ.

Задачи по аналитической геометрии охватывают следующие темы:

1) полярные координаты;

2), 3) прямая линия на плоскости;

4), 5) кривые второго порядка;

6), 7) плоскость;

8), 9), 10) прямая линия в пространстве.

Введение в математический анализ предполагает рассмотрение двух тем:

- предел функции (задачи 11-23).

- непрерывность и точки разрыва (задачи 24-26).

Прежде чем приступить к выполнению контрольных заданий, следует изучить теорию по конспекту установочных лекций и рекомендованной литературе. После этого желательно разобрать пример, приведенный перед каждой задачей.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Задача 1. Если принять полюс за начало декартовых координат, а полярную ось за ось Ох, то декартовы координаты точки М и ее полярные координаты будут связаны зависимостями или

Из этих формул следует, что

Пример 1. Дано уравнение линии в полярной системе координат. Определить точки, лежащие на линии, в промежутке , придавая значения с шагом . Построить линию. Записать ее уравнение в декартовой системе координат.

Составим таблицу значений функции .

	0
	1	1,05	1,24	1,7	3	12,8	-7,2	-3,5	-3
	-3	-3,5	-7,2	12,8	3	1,7	1,24	1,05	1

Значения функции нужно вычислять только для верхней части таблицы, нижняя часть повторяет значения верхней в обратном порядке. Строим точки, полярные координаты которых заданы таблицей. Проведем лучи , , …, . Положительные значения отложим от полюса по соответствующему лучу, а отрицательные – по продолжению луча за полюс.

Запишем уравнение линии в декартовых координатах:

. Упрощая уравнение, получим ; ; ; . Получаем нормальное уравнение гиперболы с центром в точке С(2, 0).

Контрольные варианты к задаче 1

Дано уравнение линии в полярной системе координат. Определить точки, лежащие на линии, в промежутке . Шаг взять равным . Построить линию. Записать уравнение линии в декартовой системе координат.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Задача 2. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

, (1)

где А, В – координаты нормального (перпендикулярного) вектора прямой.

Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору :

. (2)

Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору , имеет вид

. (3)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :

(4)

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данной направлении, имеет вид

(5)

где - угловой коэффициент прямой, - угол, образованный прямой с положительным направлением на оси ОХ.

у

0

х

Если прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид

. (6)

Уравнение (7)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где b – величина отрезка, отсекаемого прямой от оси ОУ.

у

b

х

Пусть две прямые заданы общими уравнениями

.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

(8)

Пример 2

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

А

О

В С

М

Решение

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

.

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

.

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

.

Точка К является серединой отрезка АМ.

.