4. Дайте определение предела ф-ции двух переменных в точке. Имеет ли ф-ция предел в точке (0,0)?

Число A называется пределом ф-ции z=f(M) в точке , если для любой сходящейся к последовательности точек , соответствующая последовательность значений ф-ции сходится к А.

Обозначение: или .

Рассмотрим 2 последовательности точек из D(f), сходящихся к точке (0,0).

Тогда рассмотрим последовательность

По определению предела данной ф-ции в точке (0;0) не существует.

5. Исследовать на сходимость гармонический ряд,

Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходи­мое условие сходимости, так как lim a = lim 1/n = 0. Если бы данный ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели

lim(S_2n -Sn) = lim S_2n - lim S_n =S-S = 0.(*)

Но

S_2n -Sn ⁼

т.е. S_2n-S_n> 1/2, что противоречит равенству (*)

Тем не менее, гармонический рад расходится очень медлен­но, что можно увидеть из следующих значений его частичных сумм:

S₁₀= 2,929; S₁₀₀= 5,187; S₁₀₀₀= 7,485; S₁₀₀₀₀= 9,788.

6.

7.

8.в т. М(-2;2) по напр =(-3;2)

.

В т.М(-2;2):

9.

10. , интервал сходимости: (-1;1)

Область сходимости:

1. x=-1.

2. x=1,

Обл.сход: (-1;1]

Билет 3

(x,y) = -x+8y+8

⁺ X² + Y² = 1 D = { (x,y)  ⁺ X² + Y² = 1}

1. f x = -1

2. f y = 8

Стационарных точек внутри нет.

2. Исследуем на границе:

L(x,y) = -x+8y+8 + (⁺ X² + Y² – 1) L x = -1 + Ly = 8 + 2y -1 + = 0 X= 8 + 2y = 0 => Y = ⁺ X² + Y² = 1 => => ₁==4 ₂=-= -4

1. ₁= 4 2) ₁= - 4 X= 4 X= - 4

Y= - Y= f(4 ; -) = - 4- 4+8 = -8+8 Наибольшее знач.

f(-4 ; ) = + 4+ 4+8 = -8+8 Наименьшее знач.

Билет 10

1 Если функции и дифференцируемы в точке то сумма этих функций также дифференцируема и выполняется следующая формула: .

Доказательство: Пусть приращения функций вычисляются только в точке , так что

Нетрудно видеть, что приращение суммы равно сумме приращений . Действительно

Поэтому

2. Пусть функция y=f(x) не ограничена на отрезке [a,b],но интегрируема на любом меньшем отрезке, где . Тогда если существует конечный предел , то его принимают за несобственный интеграл от неограниченной функции f(x):

сходится при т.е при .

3.

Билет 1

Билет №1

1. Докажите ограниченность сходящейся последовательности.

Любая сходящаяся последовательность ограничена

lim_n→∞x_n=a ⇒ ε>0 n_o(ε)∈N: n≥n₀⇒ x_n∈U_a(ε)

Начиная с n₀ члены последовательности лежат в U_a(ε), конечное число начальных членов последовательности лежит вне U_a(ε). Очевидно, что найдется [c;d], который “накроет” как интервал (a-ε;a+ε), так и все начальные члены последовательности, не входящие в интервал.