18.2.6.3.2. Интегрирование функций.
1. Как мы знаем, интеграл
аналитически не берётся. Это специальная
функция, называемая интегральным синусом
и обозначаемая
.
Получим разложение этой функции в
степенной ряд.
,
,
почленно интегрируем:
.
Ряд сходится к
при
.
Теперь легко вычислить значение этой
функции в любой точке. Пусть, например,
надо найти
с погрешностью
.
.
Ряд знакочередующийся, первый член,
меньший
,
третий, поэтому
.
2. Найти
.
Этот интеграл берётся аналитически.
Надо разложить знаменатель на множители
,
разложить подынтегральную функцию на
пять простых дробей, найти восемь
неопределённых коэффициентов и т.д., и
после этого вычислять значение
первообразной в начальной и конечной
точках. Поступим по другому. Разложим
подынтегральную функцию в ряд Маклорена
и почленно проинтегрируем:
,
.
Остаток ряда после n-го
члена
.
Если
,
достаточно взять n=2,
и
.
18.2.6.3.3. Интегрирование дифференциальных
уравнений с помощью степенных рядов.
Пусть дана задача Коши:
,
Решение этой задачи в виде ряда Тейлора
ищется так.
. Первые n
коэффициентов ряда известны из начальных
условий, остальные находятся
последовательным дифференцированием
уравнения.
Примеры. 1.
.
Из уравнения находим
.
Дифференцируем уравнение:
.
Далее дифференцируем уравнение и находим
значение производной в точке
:
,
.
Так мы можем вычислить производные
любого порядка. Решение задачи Коши:
.
2.
.
Находим:
Закономерность понятна. Производные
порядка 3n-1 и 3n
равны нулю, производная порядка 3n+1
равна
,
поэтому
С помощью признака Даламбера легко
убедится, что этот ряд сходится при
,
следовательно, даёт решение задачи Коши
на всей числовой оси.