§7. Решение матричных уравнений.

Использование обратных матриц позволяет решать простые матричные уравнения относительно квадратных матриц. Рассмотрим пример одной из таких задач. Решить уравнение AXB + C = D, где − неизвестная матрица.

Матрица Х равна: Пользуясь замечанием 1 предыдущего параграфа, имеем:

Замечание. Так как умножение матриц не коммутативно, необходимо внимательно смотреть за тем, с какой стороны следует умножать правую часть на обратные матрицы.

§8. Системы линейных алгебраических уравнений (слау).

Определение 1. Система уравнений называется системой m

линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (сокращенно СЛАУ).

Такая запись уравнений носит название координатной формы записи.

Более компактной записью является матричная форма. Нетрудно видеть, что левая часть системы представляет собой вектор, полученный умножением матрицы системы на вектор

неизвестных . В правой части получается вектор правых частей (оба вектора – столбцы). Использование этой закономерности позволяет записывать системы в более компактном виде:

− матричная форма записи. В случае невырожденной квадратной матрицы решение

системы может быть записано в виде

Рассмотрим еще несколько общих понятий, относящихся к СЛАУ.

Определение 2. СЛАУ называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение.

Если решений не существует, система называется несовместной.

Определение 3. СЛАУ, вектор правых частей которой равен нулю: = 0, называется

однородной. В противном случае система называется неоднородной.

Для однородных СЛАУ имеют место несколько общих утверждений.

Теорема 1. Однородная СЛАУ всегда совместна.

{Нулевой вектор всегда является решением однородной СЛАУ}

Теорема 2. Множество решений однородной СЛАУ образует линейное пространство.

{Пусть − решения системы , т.е. их линейная комбинация тоже решение. Выполнение аксиом − очевидно.}

Замечание. Пространство решений однородной СЛАУ является, очевидно, подпространством линейного пространства n – мерных векторов .

§9. Квадратные слау. Правило Крамера.

Рассмотрим вначале СЛАУ с квадратной матрицей А − число уравнений равно числу неизвестных:

Правило Крамера.

Обозначим определитель матрицы буквой d , а определители матриц, полученных из А заменой k – го столбца столбцом правых частей через d_k .

Теорема (правило Крамера). Если определитель матрицы системы , то система имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам:

{ – аналогично. Единственность − от противного.}

§10. Критерий совместности слау. Теорема Кронекера – Капелли.

Вернемся к общим СЛАУ . Введем еще одно понятие.

Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных и столбца правых частей, называется расширенной матрицей системы: .

Теорема (Кронекера – Капелли). СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу исходной матрицы системы, т.е. .

{1. Система совместна. Правая часть есть линейная комбинация столбцов матрицы, коэффициенты которой равны координатам вектора решения. Т.е. .

2. . Следовательно, в качестве базисного минора расширенной матрицы можно взять базисный минор матрицы А. По теореме о базисном миноре (§4) правые части равны линейной комбинации базисных столбцов матрицы. В качестве решения можно взять коэффициенты этой линейной комбинации.}