Метод добутків обчислення вибіркових середньої та дисперсії

Рівновіддалені варіанти. Нехай вибірка задана в вигляді розподілу рівновіддалених варіантів і відповідних їм частот. В цьому випадку зручно знаходити вибіркові середню та дисперсію методом добутків за формулами ₌ M₁^*h+C, D_в = х[M₂^*-(M₁^*)²]h², де h - крок (різниця між двома сусідніми варіантами); С- хибний нуль (варіанта, яка розташована приблизно в середині варіаційного ряду); u_i = (x_i-C)/h - умовна варіанта; M₁^* = (Ʃn_iu_i )/n - умовний момент першого порядку; M₂^* = (Ʃn_iu_i² )/n - умовний момент другого порядку.

203. Знайти методом добутків вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму n=100:

варіанта x_i 12 14 16 18 20 22

частота п_i 5 15 50 16 10 4

204. Знайти методом добутків вибіркову дисперсію за заданому розподілу вибірки :

а) варіанта х_i 18,6 19,0 19,4 19,8 20,2 20,6

частота n_i 4 6 30 40 18 2

б) варіанта х_i 65 70 75 80 85

частота n_i 2 5 25 15 3

Не рівновіддалені варіанти. Якщо первинні варіанти не є рівновіддаленими, то інтервал, в якому розміщені всі варіанти вибірки, ділять на декілька рівних довжиною h , часткових інтервалів (кожен частковий інтервал повинен містити не менше 8-10 варіант). Потім знаходять середини часткових інтервалів, які і утворюють послідовність рівновіддалених варіант. За частоту кожної середини інтервала приймають суму частот варіант, які потрапили у відповідний частковий інтервал. При обчисленні вибіркової дисперсії для зменшення помилки викликано угрупуванням (особливо при малому числі інтервалів) роблять поправку Шеппарда, а саме віднімають з обчисленої дисперсії 1/12 квадрата довжини часткового інтервалу.

Таким чином, з урахуванням поправки Шеппарда дисперсію обчислюють за формулою D_в = D_в – (1/12)h²

205. Знайти методом добутків вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму п = 100:

X_i 2 3 7 9 11 12.5 16 18 23 25 26

n_i 3 5 10 6 10 4 12 13 8 20 9

206. При обчисленні дисперсії розподілу не рівновіддалених варіант вибірка була розбита на п'ять інтервалів довжиною h = 12. Вибіркова дисперсія рівновіддалених варіант (середин часткових інтервалів) D_в = =52,4. Знайти вибіркову дисперсію, враховуючи поправку Шеппарда.

207. а) Знайти методом добутків вибіркову середню і вибіркову дисперсію з заданим розподілом не рівновіддалених варіант вибірки об'єму

n=100:

x_i 10 13 15 17 19 23 24 26 28 32 34 35

n_i 2 4 6 8 9 6 20 15 10 8 7 5

б) знайти вибіркову дисперсію з урахуванням поправки Шеппарда.

Інтервальні оцінки

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, який оцінюється.

Довірчим називають інтервал, який з заданою надійністю γ покриває заданий параметр.

1) Інтервальною оцінкою (з надійністю γ) математичного сподівання α нормально розподіленої кількісної ознаки X за вибірковою середньою при відомому середньому квадратичному відхиленні σ генеральної сукупності служить довірчий інтервал

де точність оцінки, n-об`єм вибірки, t- значення аргументу функції Лапласа Ф(t) (див. додаток 2), при якому Ф(t)=γ/2; при невідомому σ (і об`ємі вибірки n<30)

де s-«виправлене» вибіркове середнє квадратичне відхилення,t знаходять за таблицею додатка 3 по заданих n і γ.

2) Інтервальною оцінкою (з надійністю γ) середнього квадратичного відхилення σ нормально розподіленої кількісної ознаки X за «виправленим» вибірковим середнім квадратичним відхиленням s служить довірчий інтервал

де q знаходять за таблицею додатка 4 по заданих n і γ .

208. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного сподівання α нормально розподіленою ознаки X генеральної сукупності, якщо генеральне середнє квадратичне відхилення σ=5, вибіркова середня =14 і об`єм вибірки n=25.

Розв`язання. Потрібно знайти довірчий інтервал

Всі величини, крім t, відомі. Знайдемо t із співвідношення Ф(t)=0,95/2 = =0,475. За таблицею додатка 2 знаходимо t=1,96. Підставивши t=1,96, =14, σ =5, n=25, остаточно одержимо шуканий довірчий інтервал 12,04 <α <15,96.

209. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,99 невідомого математичного сподівання α нормально розподіленою ознаку X генеральної сукупності, якщо відомі генеральне середнє квадратичне відхилення σ, вибіркова середня і обсяг вибірки n: а) σ=4, =10,2, n=16; б) σ=5, =16,8, n=25.

210. Одним і тим же приладом із середнім квадратичним відхиленням випадкових помилок вимірів σ=40 м проведено п'ять рівноточних вимірювань відстані від гармати до цілі. Знайти довірчий інтервал для оцінки дійсної відстані α до мети з надійністю γ=0,95, знаючи середнє арифметичне результатів вимірів =2000 м.

Передбачається, що результати вимірів розподілені нормально.

211. Вибірка з великої партії електроламп містить 100 ламп. Середня тривалість горіння лампи вибірки виявилася рівною 1000 ч. Знайти з надійністю 0,95 довірчий інтервал для середньої тривалості α горіння лампи всієї партії, якщо відомо, що середнє квадратичне відхилення тривалості горіння лампи σ=40 ч. Передбачається, що тривалість горіння ламп розподілена нормально .

212. Верстат-автомат штампує, валики. За вибіркою об'єму n = 100 обчислена вибіркова середня діаметрів виготовлених валиків. Знайти з надійністю 0,95 точність σ, з якою вибіркова середня оцінює математичне сподівання діаметрів валиків,що виготовляється якщо їх середньоквадратичне відхилення σ = 2 мм. Передбачається, що діаметри валиків розподілені нормально.

213. Знайти мінімальний об`єм вибірки, при якому з надійністю 0,975 точність оцінки математичного сподівання α генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює δ = 0,3, якщо відомо середнє квадратичне відхилення σ=1,2 нормально розподіленої генеральної сукупності.

Розв’язання. Скористаємося формулою, що визначає точність оцінки математичного сподівання генеральної сукупності за вибірковою середньою: звідси .

За умовою, γ=0.975; отже, Ф(t)=0,975/2=0,4875. За таблицею додатка 2 знайдемо t=2,24. Підставивши t=2,24, σ=1,2 і δ=0,3 в (*), отримаємо шуканий обсяг вибірки n=81.

214. Знайти мінімальний об`єм вибірки, при якому з надійністю 0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 0,2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ=1,5.

215. З генеральної сукупності добута вибірка об'єму n = 10: варіанту x_i -2 1 2 3 4 5

частота n_i 2 1 2 2 2 1

Оцінити з надійністю 0,95 математичне сподівання а нормально розподіленої ознаки генеральної сукупності за вибірковою середньою за допомогою довірчого інтервалу.

Розв’язання. Вибіркову середню та «виправлене» середньоквадратичне відхилення знайдемо відповідно за формулами:

Підставивши в ці формули дані задачі, отримаємо = 2, s = 2,4.

Знайдемо t_γ . Користуючись таблицею додатка 3, з γ = 0,95 і n = 10 знаходимо t_γ = 2,26.

Знайдемо шуканий довірчий інтервал:

Підставляючи = 2, t_γ = 2,26, s = 2,4, n = I0, отримаємо шуканий довірчий інтервал 0,3 < α <37, що покриває невідоме математичне сподівання а з надійністю 0,95.