Показниковий розподіл і його числові характеристики

Показниковим (експоненціальним) називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини X, який описується густиною

де – стала добутка.

Функція розподілу показникового закону

Ймовірність попадання в інтервал (а,b) неперервної випадкової величини X, розподіленої за показниковим законом,

P(a < X < b) = – e– e.

Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення показникового розподілу відповідно рівні:

М(Х) = 1/, D(X) = 1/,

Таким чином, математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення показникового розподілу рівні між собою.

162. Неперервна випадкова величина X розподілена за показниковим законом, заданим при х0 густиною розподілу f(х) = 0,04*е^–0,04х; при х < 0 функції f(x) = 0. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X потрапляє в інтервал (1;2).

163. Неперервна випадкова величина X розподілена за показниковим законом, заданим функцією розподілу F(x)= 1 – е^–0,6х при х0; при х <0 F(х)= 0. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X потрапить в інтервал (2, 5).

164. Знайти математичне сподівання показникового розподілу, заданого при х0: а) густиною f (х) = 5е^–6х; б) функцією розподілу F( х) 1 – е^–0,1х.

165. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення показникового розподілу, заданого густиною ймовірності f(x) = 10e^–10x (x).

Емпірична функція розподілу

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію яка визначає для кожного значення х відносну частоту події X<x.

де - число варіант, менших х; п - об`єм вибірки.

166. Знайти емпіричну функцію за даним розподілом вибірки:

Розв’язання: Знайдемо об'єм вибірки:

Найменша варіанта дорівнює одиниці, тому F* (х) = 0 при х< 1.

Значення х < 4, а саме х₁ = 1, спостерігалося 10 разів, отже,

Значення х < 6, а саме:

х₁ = 1 і х₂ = 4,

спостерігалися

10+15=25 разів; отже,

F*(х)= 25/50=0,5

при 4 ≤ x<6.

Мал.11

Оскільки x =6- найбільша варіанта, то F*(x)= 1 при х ≥ 6.

Графік цієї функції зображений

на мал. 11.

167. Знайти емпіричну функцію за даним розподілом вибірки:

168. Побудувати полігон частот за даним розподілом вибірки:

Розв’язання: Відкладемо на осі абсцис варіанти х_і, а на осі ординат відповідні їм частоти nі: з'єднавши точки(х_і, n_і)відрізками прямих, отримаємо шуканий полігон частот (мал. 12).

169. Побудувати полігон частот за даним розподілом вибірки:

170. Побудувати полігон відносних частот за даним розподілом вибірки:

171. Побудувати гістограму частот за даним розподілом вибірки:

a)

Номер інтервалу і	Частковий інтервал хі-хі+1	Сума частот варіант інтервалу ni	Щільність частоти ni/h
1 2 3 4 5	2-7 7-12 12-17 17-22 22-27	5 10 25 6 4

б)

Номер інтервалу і	Частковий інтервал хі-хі+1	Сума частот варіант інтервалу ni	Щільність частоти ni/h
1 2 3 4 5 6 7	3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17	4 6 20 40 20 4 6

Вказівка. Знайти попередньо густину частоти n_i/h

для кожного інтервалу і заповнити останній стовпець таблиці.

172. Побудувати гістограму відносних частот за даним розподілом вибірки:

Номер інтервалу і	Частковий інтервал хі-хі+1	Сума частот варіант інтервалу ni
1 2 3	0-2 2-4 4-6	20 30 40

173. Побудувати гістограму відносних частот за даним розподілом вибірки:а)

Номер інтервалу і	Частковий інтервал хі-хі+1	Сума частот варіант інтервалу ni
1 2 3 4 5	10-15 15-20 20-25 25-30 30-35	2 4 8 4 2

б)

Номер інтервалу і	Частковий інтервал хі-хі+1	Сума частот варіант інтервалу ni
1 2 3 4	2-5 5-8 8-11 11-14	6 10 4 5