Моделирование случайной величины с произвольно заданным законом распределения посредством нелинейного преобразования случайной величины с равномерным законом распределения

Имеется датчик случайной (псевдослучайной) величины Y с функцией распределения вероятностей, равномерной в диапазоне [0,1],

(1)

Требуется получить датчик случайных чисел х с иным законом распределения вероятностей. Предполагается, что необходимый закон распределения известен точно, т.е. аналитическое выражение требуемой плотности распределения вероятностей W(х) либо функции распределения F(х) задано.

Рис. 1. Преобразование равномерно распределенной в диапазоне (0,1) случайной величины y в случайную величину x с интегральной функцией

распределения F(x)

Решение поставленной задачи сводится к определению вида нелинейного преобразования x=q(y) (рис.1) случайной величины Y с равномерным на интервале (0,1) законом распределения, в результате которого получается случайная величина X с заданной плотностью распределения вероятностей W(x). Вероятность того, что реализация случайной величины y попадет в интервал dy, равна вероятности того, что значение x=q(y) попадет в соответствующий интервал dx:

W(y)dy=W(x)dx.

Поскольку случайная величина y имеет равномерный закон распределения, то W(y)=1 во всей области определения [0,1]. Поэтому dy=W(x)dx. Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим

. (2)

Графическая иллюстрация проделанных преобразований приведена на рис.1.

В результате решения уравнения (2) относительно переменной х можно определить вид функции q(y), которая совпадает с функцией, обратной к интегральной функции распределения F(х): .

Пример 1. Пусть требуется получить случайную величину с релеевским законом распределения, у которой

F(х)=1-exp(-x²/2σ²), W(x)=(x/ σ²) exp(-x²/2 σ²).

Тогда, решая уравнение у=1-ехр(-х²/2σ²), получим х= σ.

Известно, что если случайная величина у распределена равномерно в диапазоне [0,1], то случайная величина 1-у имеет такой же закон распределения, поэтому последнее равенство целесообразно заменить статистически эквивалентным: x=q(у)= σ . Таким образом, если датчик генерирует последовательность случайных чисел у_i, i = 1, 2..., с равномерным законом распределения, то последовательность чисел x_i= σ i=1, 2... будет иметь закон распределения Релея.

Метод Неймана

Случайную величину с заданной плотностью распределения вероятностей W(x) можно получить из базовой последовательности случайных (псевдослучайных) чисел имеющих равномерную плотность распределения вероятностей на интервале [0,1] следующим образом.

Пусть имеются две случайные величины X, и Y, с равномерными законами распределения, которые образуют двумерное пространство элементарных событий (рис.2).

Рис.2 Двумерное пространство элементарных событий:

B – область в пространстве элементарных событий между осью абсцисс и кривой, воспроизводящей в некотором масштабе плотность распределения вероятностей W(x); a - область прямоугольника с размерами: dx – по оси абсцисс, b - по оси ординат

Случайные величины X и Y можно получить в результате умножения чисел базовой последовательности соответственно на a и b. Функция f(x) изображает в общем случае в произвольном масштабе заданную плотность распределения вероятностей W(x). Буквой a будем обозначать область прямоугольника с размерами: по оси абсцисс – dx, по оси ординат – b; B – область в пространстве элементарных событий между осью абсцисс и кривой f(x).

Алгоритм

1. На первом шаге вырабатываются реализации x₁ и y₁ случайных величин X и Y (точка в пространстве элементарных событий).

2. Если точка с координатами (x₁,y₁) попала в область B под функцией f(x), то y₁ отбрасывается, а x₁ используется в качестве выходного значения случайной величины. В противном случае отбрасываются оба значения x₁ и y₁ (холостой прогон).

3. Переход к пункту 1.

Таким образом, случайная величина с плотностью распределения W(x) формируется посредством прореживания базовой последовательности.

Докажем, что получаемая таким образом случайная величина описывается плотностью распределения вероятностей W(x), которая совпадает в определенном масштабе с функцией f(x). В данном случае вероятность W(x)dx попадания реализации выходной случайной величины в интервал dx равна условной вероятности P(A/B)=P(AB)/P(B)=W(x)dx, где события A и B определены как подмножества в пространстве элементарных событий. Поскольку плотность распределения вероятностей постоянна в пространстве элементарных событий, то применим геометрический метод вычисления вероятностей, т.е. условная вероятность P(A/B) равна отношению площади пересечения событий A и B к площади S(B) события B: W(x)dx= P(A/B)=f(x)dx / S(B).

Отсюда следует, что W(x) = f(x)/ S(B).