
Линейная алгебра
Матрицы
Определение 1
Упорядоченный
набор элементов
называется матрицей. Обычно матрицу
записывают в виде таблицы
Определение 2
Упорядоченный
набор элементов
называется
-той
строкой матрицы.
Определение 3
Упорядоченный
набор элементов
называется
-тым
столбцом матрицы.
Определение 4
Говорят, что матрица
имеет размерность
если она состоит из элементов
.
Обозначается матрица
или
Определение 5
Матрица размерности
называется матрицей-строчкой
.
При этом обычно для матрицы строчки
опускают первый индекс, т.е. пишут
.
Определение 6
Матрица размерности
называется матрицей-столбцом
При
этом обычно для матрицы-столбца опускают
второй индекс
Для
экономии места матрицу-столбец
записывают
либо
либо обозначают
.
Таким образом
матрицу
можно записать
,
где
- матрица-строчка
или
,
где
- матрица-столбец
.
Определение 7
Матрица размерности
называется квадратной матрицей порядка
.
При дальнейшем изложении будем всегда подразумевать, что элементы матрицы это числа (действительные, комплексные).
Определение 8
Квадратная матрица
такая, что
называется нулевой матрицей порядка
.
Квадратная матрица
такая, что
,
где
называется единичной матрицей порядка
.
Определение 9
Элементы
матрицы
называются главной диагональю матрицы.
Введем операцию сложения матриц и умножения матрицы на число.
Определение 10
Произведением
матрицы
на число
называется матрица
такая, что
.
Определение 11
Суммой матриц
и
называется матрица
такая, что
.
Свойства введенных операций
Для любых матриц
,
чисел
выполняются следующие свойства:
1)
.
2)
.
3)
Существует матрица, обозначаемая
такая, что
.
4)
Существует матрица
,
обозначаемая
такая, что
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
.
Доказательство
Обозначим
через
,
т.е
.
Тогда
.
Так как для чисел коммутативность
известна, то
.
Значит
.
Аналогично доказываются остальные
свойства (пользуемся аналогичными
свойствами для чисел). Нулевой матрицей
является матрица состоящая из одних
нулей
Для матрицы
Замечание
Таким образом
матрицы размерностью
образуют линейно-векторное пространство.
Произведение матриц
Определение 12
Произведением
матриц
и
называется матрица
такая, что
.
Пример
Пример
.
Произведение
определено, так как у них размерности
,
а произведение
не определено, так как у них не подходящие
размерности
(
).
Замечание
Для квадратной
матрицы
размерности
и
размерности
определены оба произведения
и
.
Замечание
Операция произведения
матриц не является коммутативной для
матриц, размерности отличной от
.
Пример
Замечание
Рассмотрим матрицу
,
нулевую матрицу
(
)
и единичную матрицу
.
является нулевой матрицей
.
Найдем произведение
.
Т.е.
.
Аналогично можно рассмотреть произведение
матрицы
и единичной матрицы
.
Замечание
Таким образом для
квадратной матрицы
порядка
и единичной матрицы порядка
выполняется равенство
.
Свойства произведения матриц
Для любых матриц
выполняются равенства
1)
2)
3)
Для любого числа
Доказательство
Обозначим
произведение матриц
через
.
Размерность матрицы
.
Элемент
матрицы
находится из равенства
.
Тогда элемент матрицы
размерности
,
где
- элемент матрицы
.
Таким образом
элемент
матрицы
равен элементу
матрицы
.
Аналогично доказываются свойства 2 и 3.
Определение 13
Будем говорить,
что матрица
разбита на блоки, если она представима
в виде
,
где
- матрица размерности
,
причем
.
Матрицы
называются блоками матрицы
.
Сложение блочных матриц
Пусть матрица
и матрица
разбиты на одинаковые блоки
.
Тогда для любых чисел
и
:
Доказательство
Таким образом сложение и умножение блочных матриц на число аналогично операциям с обычными матрицами.
Умножение блочных матриц
Пусть матрица
и матрица
разбиты на блоки
,
т.е. количество блоков в строчке матрицы
такое же, как количество блоков в столбце
матрицы
.
При этом размерности матриц
и
таковы, что определено произведение
.
Тогда произведение матриц
,
где
.
Доказательство
Докажем, что в
матрице
элемент, стоящий на пересечении первых
строк и
столбцов образует матрицу
,
где
- количество строк в
,
а
- количество столбцов в
.
Размерность матрицы
равна
.
Пусть
,
.
Тогда элемент
произведения
записывается по формуле
является
-тым
элементом матрицы
,
является
-тым
элементом матрицы
и т.д. Таким образом получили, что
является
-тым
элементом матрицы
.
Значит в матрице
элемент, стоящий на пересечении первых
строк и
столбцов образует матрицу
.
Аналогично доказывается для остальных
блоков.
Замечание
Таким образом перемножение матриц, состоящих из блоков аналогично перемножению матриц, состоящих из чисел.
Определение 14
Матрица
называется транспонированной к матрице
,
если
.
Транспонированная матрица обозначается
.
Пример
Свойства
1)
2)
,
- число
3)
4)
Доказательство
Свойства 1, 2, 3 следуют непосредственно из определения.
4)
Таким образом
равен
-тому
элементу
,
т.е.
.
Определение 15
Матрица
называется симметричной, если
.
Пример
Замечание
Симметричная матрица является квадратной.
Определение 16
Матрица
называется кососимметричной, если
(
).
Пример
Замечание
Кососимметричная матрица является квадратной.
Замечание
У кососимметричной матрицы на главной диагонали стоят нули.
Определение 17
Пусть элементы
матрицы являются комплексными числами
.
Тогда матрица
называется сопряженной к матрице
.
Таким образом
.
Сопряженная матрица обозначается
.
Пример
Свойства сопряженной матрицы
1)
2)
,
- число
3)
4)
Определители
Определение 18
Перестановкой
длины
называется упорядоченный набор из
чисел от
до
без повторений.
Пример
- перестановка
длины
- перестановка длины
- не является перестановкой
- не является перестановкой
Замечание
Количество
перестановок длины
равно
.
Множество всех
перестановок длины
будем обозначать
.
Определение 19
Перестановка
называется основной перестановкой
длины
.
Определение 20
Транспозицией
перестановки
называется взаимная перестановка двух
элементов между собой
.
Пример
Определение 21
Говорят, что
элементы
и
,
в перестановке
образуют инверсию (нарушают порядок),
если
.
Пример
Элементы 1 и 3 образуют порядок. Элементы 1 и 4 образуют порядок. Элементы 1 и 5 образуют порядок. Элементы 1 и 2 образуют порядок. Элементы 3 и 4 образуют порядок. Элементы 3 и 5 образуют порядок. Элементы 3 и 2 образуют инверсию. Элементы 4 и 5 образуют порядок. Элементы 4 и 2 образуют инверсию. Элементы 5 и 2 образуют инверсию.