§30.* Теорема Стокса.
- теорема Стокса
- Теорема Гаусса в операторной форме
Например
- теорема Стокса в операторной форме.
§У. 7. Задача 14
14. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы:
,
если объем, который охватывает замкнутая поверхность, равен V; A – постоянный вектор.
Решение. Умножим искомый интеграл на постоянный вектор р:
Так как вектор р произволен, то
.
Аналогично показывается, что
§31*. Функциональные соотношения различных полей
Здесь
- диэлектрическая проницаемость, а
-
диэлектрическая восприимчивость.
-разложение
функции
в
ряд Маклорена.
Если же
:
Возможно разложить
по векторам
в
ряд Маклорена:
Первое слагаемое – это индукция, связанная с собственным дипольным моментом в отсутствие внешнего поля (собственная поляризация) – пироэлектрики.
Второе слагаемое – линейные среды.
Третье слагаемое – учёт нелинейности среды.
Среды, для которых нелинейные члены в разложении индукции по полю имеют вес, называются нелинейными.
Линейные среды
Введём обозначение:
,
тогда
Аналогично вводятся тензоры: 
Для ферромагнетиков
-
учёт нелинейности.
Неоднородные среды
Среды, для которых материальные
характеристики (
)
являются функциями координат.
Т.е. характеристики трансляционно неинвариантны.
Введём понятие сплошной среды. Сплошная среда – это среда в каждой точке которой измерение материальных характеристик даёт не нулевой результат. Сплошная среда – это модель. В реальной среде имеются микро-пустоты, т.е. вещество локализовано в некоторых точках пространства. Чтобы перейти к сплошной среде, нужно усреднить микро-параметры по достаточно большому объёму.
Анизотропные среды
Анизотропные среды (свойства), это такие среды, свойства которых зависят от направления, в котором это свойство измеряется.
П
усть
в каком-то направлении исследуются
оптические свойства среды. Затем мы
повернули направление исследования, и
оптические свойства изменились, т.е.
оптические свойства зависят от угла
поворота.
Так как свойства меняются, то они неинвариантны относительно вращения. Этим свойством обладает всякая анизотропная среда.
Для тензоров 2-го ранга есть исключения:
Кубические системы описываются тензорами изотропного вида, т.е.
Монокристалл – есть однородная анизотропная среда.
§32*. Условия на границе раздела двух сред.
Рассмотрим поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред с различными материальными характеристиками. Используем теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса:
Теорема Остроградского-Гаусса:
т.е. совершается следующий переход:
Теорема Стокса:
Запишем первое и четвёртое уравнения Максвелла в среде:
Имеется граница раздела – поверхность, отделяющая одну среду от другой.
-
нормаль к поверхности.
- скачок функции на границе раздела двух
сред.
Рассмотрим цилиндр, образующие которого
перпендикулярны поверхности
.
По объёму
проинтегрируем первое и уравнение
Максвелла:
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:
При
а
следовательно и
В последнем равенстве мы воспользовались теоремой о среднем.
Аналогично:
Тогда:
Где ~h – боковая поверхность
В пределе, при
,
-
заряд на поверхности раздела двух сред
Пусть в пределе
,
при этом
Поверхностная плотность заряда:
В результате получаем:
Если на поверхности нет свободных
зарядов, то
и
,
т.е.
- непрерывна.
Аналогично рассмотрев второе уравнение Максвелла
Получим
Т.е.
- всегда непрерывна, её скачок всегда
равен нулю.
Теперь рассмотрим четвёртое уравнение Максвелла
,
причём
Тогда по теореме Стокса:
Рассмотрим правую часть этого равенства:
Второе слагаемое, при
даёт 0.
-
ток, протекающий через поверхность
,
причём ток положителен в направлении
нормали
При
,
Воспользуемся теоремой о среднем:
Рассмотрим предельный переход при
,
тогда
-
поверхностный ток, текущий через
перпендикулярно чертежу.
При
- ток, текущий по поверхности, в расчёте
на длину.
В результате получаем:
Если
,
то
- непрерывна.
Аналогично для третьего уравнения Максвелла:
Имеем:
Т.е. тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна.
Определим
тогда
Ввиду произвольности
,
это выражение эквивалентно выражению:
