§6. Элементы теории поля

1. Скалярное поле

Рассмотрим некоторую область (V) трехмерного пространства Oxyz. Если каждой точке M(x;y;z) этой области поставлено в соответствие значение некоторой скалярной величины U, т.е. U=U(M) или U=U(x;y;z), то говорят, что задано скалярное поле. Например, точечный источник тепла создает поле температур. Скалярное поле, не меняющееся во времени, называется стационарным, и в этом случае функция U не зависит от времени, т. е. U=U(x;y;z). Если же поле меняется во времени, т. е. U=U(x;y;z;t), то оно называется нестационарным. Например, если вынуть из костра раскаленный камень, то вокруг него образуется нестационарное поле температур, которое будет меняться с течением времени, т.к. камень будет остывать. Т. о., очевидно, что скалярное поле описывается некоторой функцией точки, имеющей три, две или одну координату, в зависимости от того, что представляет собой область (V).

Основными характеристиками скалярного поля являются производная по направлению и градиент (изучено ранее).

2.Векторное поле

Рассмотрим некоторую пространственную область (V). Если с каждой точкой этой области связано значение некоторой векторной величины , то говорят, что определено векторное поле . Очевидно, что задание одного векторного поля равносильно заданию трех скалярных полей a_x(x;y;z;t), a_y(x;y;z;t) и a_z(x;y;z;t), где (x;y;z) – точка, принадлежащая области (V), а переменная t имеет смысл времени. В том случае, если координаты вектора не зависят от времени, поле вектора называется стационарным.

3. Поток векторного поля

Пусть в поле вектора находится двусторонняя поверхность (S). Выберем на ней элементарную площадку (S), площадь которой равна S. Пусть - нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности. Будем считать, что в пределах выбранной площадки вектор постоянен. Обозначим через проекцию вектора на направление нормали .

Определение. Элементарным потоком вектора через площадку (S) в выбранную сторону называется .

Разобьем поверхность (S) на n частей с площадями ΔS₁, ΔS₂, …, ΔS_n и диаметрами λ_i. Обозначим -диаметр разбиения. Просуммируем элементарные потоки по всем частичным ячейкам, при условии, что 0:

.

Q и называется потоком векторного поля через поверхность (S) в выбранную сторону.

Если - единичный вектор нормали к поверхности (S), то скалярное произведение . То есть

,

.

Выразим поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода:

.

Механический смысл потока векторного поля

Пусть пространство заполнено движущейся жидкостью, скорость которой в каждой точке M(x;y;z) задается вектором . Пусть ρ(x;y;z) – плотность текущей жидкости. Вычислим количество жидкости, протекающей за единицу времени через некоторую поверхность (S). Разобьем поверхность на n частей с площадями ΔS₁, ΔS₂, …, ΔS_n.  - диаметр разбиения. Будем считать, что в пределах части (ΔS_i) плотность постоянна и равна плотности ρ_i в произвольно выбранной точке. За единицу времени частицы жидкости продвинутся через элементарную площадку (S_i) и заполнят наклонный цилиндр, площадь основания которого равна S_i, а высота h_i равна проекции вектора на вектор : , если векторы и лежат в одном полупространстве. Масса частиц жидкости, заполнивших элементарный цилиндр равна

,

Суммируя по i от 1 до n, получаем приближенное значение количества жидкости, протекающей через ориентированную поверхность (S) за единицу времени

.

Переходя к пределу при 0, получим точное значение Q:

-

количество жидкости, протекающей через поверхность (S) в выбранную сторону за единицу времени. В этом и заключается механический смысл потока векторного поля.