6.2. Традиционные операции над множествами (теоретико-множественные операторы)

К традиционным операциям реляционной алгебры относят классические операции над множествами, т. е. объединение, пересечение, вычитание и декартово произведение. Рассмот­рим результаты действий данных операций над множествами отношений в реляционной модели данных.

Объединение

Определение. Объединением двух совместимых по типу отно­шений R₁ и R₂ называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений R₁ и R₂, и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих или R₁, или R₂, или обоим отношениям. Та­ким образом, при выполнении операции объединения двух отношений производится отношение, включающее все кор­тежи, входящие хотя бы в одно из отношений-операндов. Синтаксис операции объединения:

R₁ union R₂

Замечание.

Объединение, как и любое отношение, не может содержать оди­наковых кортежей. В силу этого, если некоторый кортеж входит и в отношение R₁, и в отношение R₂, то в объединение он входит только один раз.

Пример. Пусть даны два отношения R₁ и R₂ с информацией о начислении стипендии студентам (рис. 6.1). Объединение этих отношений будет иметь вид, представленный на рис. 6.2.

Отношение R₁ (Начисление стипендии)

Личный номер	Фамилия	Размер стипендии
11	Котова	3000
22	Серов	2500
35	Леонидов	3500

Отношение R₂ (Начисление стипендии)

Личный номер	Фамилия	Размер стипендии
11	Котова	3000
22	Данилов	2500
65	Леонидов	2500

Рис. 6.1. Примеры отношений R₁ и R₂

Отношение R₁ union R₂

Личный номер	Фамилия	Размер стипендии
11	Котова	3000
22	Серов	2500
35	Леонидов	3500
22	Данилов	2500
65	Леонидов	2500

Рис. 6.2. Результат объединения отношений R₁ и R₂

Замечание: Реляционные операторы не передают результирующему отношению никаких данных о потенциальных ключах в силу того, что потенциальный ключ является семантическим понятием, отражающим различия объектов предметной области. Наличие потен­циальных ключей не выводится из структуры отношения, а явно задается для каждого отношения, исходя из его смысла. Реляци­онные операторы являются формальными операциями над отно­шениями и выполняются одинаково, независимо от смысла дан­ных, содержащихся в отношениях.

В силу сказанного операция объединения (а также и другие опе­рации реляционной алгебры) не наследует потенциальные клю­чи отношений, входящих в объединение. Поэтому в объедине­нии отношений R₁ и R₂ атрибут «Личный номер» может содержать дубликаты значений. Следует отметить, что объеди­нение отношений R₁ и R₂ как и любое отношение, имеет по­тенциальный ключ, например, состоящий из атрибутов (Личный номер, Фамилия).

Пересечение

Определение. Пересечением двух совместимых по типу отно­шений R₁ и R₂ называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений R₁ и R₂, и телом, состоящим из корте­жей, принадлежащих одновременно обоим отношениям R₁ и R₂. Таким образом, операция пересечения двух отношений дает отношение, включающее все кортежи, входящие в оба отношения-операнда. Синтаксис операции пересечения:

R₁ intersect R₂

Пример. Для отношений R₁ union R₂ (рис.6.1.) результат операции пересечения имеет вид, представленный на рис. 6.3.

Отношение R₁ intersect R₂

Личный номер	Фамилия	Размер стипендии
11	Котова	3000

Рис. 6.3. Результат пересечения отношений R₁ и R₂

Вычитание

Определение. Вычитанием двух совместимых по типу отноше­ний R₁ и R₂ (рис. 6.1) называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений R₁ и R₂, и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих отношению R₁ и не принадлежащих отно­шению R₂. Таким образом, отношение, которое является разностью двух отношений, включает все кортежи, входящие в отношение-первый операнд, такие, что ни один из них не входит в отношение, являющееся вторым операндом. Синтак­сис операции вычитания:

R₁ minus R₂

Пример. Для отношений R₁ и R₂ (рис. 6.1) вычи­тание имеет вид, представленный на рис. 6.4.

Отношение R₁ minus R₂

Личный номер	Фамилия	Размер стипендии
22	Серов	2500
35	Леонидов	3500

Рис. 6.4. Результат операции вычитания для отношений R₁ и R₂

Декартово произведение

Определение. Декартовым произведением двух отношений R₁ (R₁₁, R_12, …,R_1n), R₂,(R₂₁, R_22, …,R_2m) называется отношение, заголовок которого является сцеплением заголовков отноше­ний R₁ и R₂:

(R₁₁, R_12, …,R_1n ,R₂₁, R_22, …,R_2m),

а тело состоит из кортежей, являющихся сцеплением корте­жей отношений R₁ и R₂:

(r₁₁, r_12, …,r_1n ,r₂₁, r_22, …,r_2m),

таких, что:

(r₁₁, r_12, …,r_1n) R₁ , (r₂₁, r_22, …,r_2m) R₂,

При выполнении прямого произведения двух отношений по­лучается отношение, кортежи которого являются конкатена­цией (сцеплением) кортежей первого и второго операндов. Синтаксис операции декартового произведения:

R₁ times R₂

Замечание. Мощность произведения R₁ times R₂ равна произведению мощностей отношений R₁ и R₂, т. к. каждый кортеж отношения R₁ соединяется с каждым кортежем отношения R_2.

Если в отношениях R₁ и R₂ имеются атрибуты с одинаковыми наименованиями, то перед выполнением операции декартового произведения такие атрибуты необходимо переименовать. При перемножении отношений совместимость по типу не требуется.

Пример. Пусть даны два отношения R₁ и R₂ с информацией о студентах и дисциплинах (рис. 6.5). Декартово произведение отношений R₁ и R₂ будет иметь вид, представленный на рис. 6.6.

Отношение R₁ (Студенты)

Личный номер	Фамилия
11	Котова
22	Серов
35	Леонидов

Отношение R₂ (Название дисциплины)

Код дисциплины	Название дисциплины
1	Высшая математика
5	История
11	Иностранный язык

Рис. 6.5. Примеры отношений R₁ и R₂

Отношение R₁ times R₂

Личный номер	Фамилия	Код дисциплины	Название дисциплины
11	Котова	1	Высшая математика
11	Котова	5	История
11	Котова	11	Иностранный язык
22	Серов	1	Высшая математика
22	Серов	5	История
22	Серов	11	Иностранный язык
35	Леонидов	1	Высшая математика
35	Леонидов	5	История
35	Леонидов	11	Иностранный язык

Рис. 6.6. Результат операции декартова произведения для отношений R₁ и R₂

Замечание. Операция декартова произведения непосредственно для реальных запросов не используется, но она важна для выполнения специальных операций [20, С. 55-64].