5. Методичні вказівки до розв'язання задач Приклад 1

Таблиця розподілу робітників за виконанням норм виробітку

Групи за виконанням норм виробітку, %	Кількість робітників, чол.	Середина інтервалу, x	Кумулята, f	xf	Відхилення від середньої
1	2	3	4	5	6
До 100	12	97.5	12	1170	-12.3
100-105	20	102.5	32	2050	-7.3
105-110	80	107.5	112	8600	-2.3
110-115	46	112.5	158	5175	2.7
115-120	36	117.5	194	4230	7.7
120 та вище	6	122.5	200	735	12.7
Разом	200	x	X	21960	x

Так як дані згруповані, середнє розраховується за формулою середньої арифметичної зваженої:

.

Для розрахунку показників варіації побудуємо таблицю розрахунку показників варіації та форми розподілу

Групи
	1	2	3	4
1	147.6	1815.48	-22330.4	274663.9
2	146.0	1065.80	-7780.3	56796.5
3	112.0	423.20	-973.4	2238.7
4	124.2	355.34	905.4	2444.6
5	277.2	2734.44	16435.2	126550.9
6	76.2	967.74	12290.3	156086.8
Разом	883.2	7362.00	-1453.2	618781.4

У таблиці в графах 1-2 наведені проміжні дані, які розраховані для зручності користування форму­лами. Використаємо їх для розрахунку середнього лінійного відхилення та дисперсії для згрупованих да­них:

.

Середнє квадратичне відхилення:

.

Відносні характеристики варіації:

а) лінійний коефіцієнт варіації

,

або

,

Відносно низькі коефіцієнти варіації свідчать про однорідність сукупності робітників за виконанням норм виробітку.

Для характеристики форми розподілу використаємо коефіцієнт асиметрії та ексцесу через моменти третьо­го та четвертого порядку

,

.

Тоді

,

.

Розраховані значення свідчать про те, що розподіл робітників за виконанням норм виробітку лівосторон­ній з невеликою плосковерхістю. Побудуємо графік розподілу:

Приклад 2

Маємо такі дані про годинний виробіток деталей робітниками двох груп, які пройшли перепідготовку (N₁) і не пройшли (N₂), чисельністю 5 чол. кожна.

Таблиця — Годинний виробіток робітників, які пройшли і не пройшли перепідготовку

№ п/п 1	Годинний виробіток деталей, од.		Індивідуальне відхилення від загальної середньої		Квадрат індивідуального відхилення
	група 1	група 2	група 1	група 2	група 1	група 2
	2	3	4	5	6	7
1	40	62	-14	8	196	64
2	48	66	-6	12	36	144
3	43	60	-11	6	121	36
4	45	68	-9	14	81	196
5	44	64	-10	10	100	100
Разом	220	320	-50	50	534	540

Дисперсійний аналіз дає можливість визначити роль систематичної та випадкової варіації у загальній варіації і тим самим визначити роль фактора, покладеного в основу групування, в зміні результативної ознаки. Для цього використовують правило складання дисперсії, згідно з яким загальна дисперсія дорівнює сумі двох дисперсій: середньої із групових і міжгрупової:

Тісноту зв'язку характеризує співставлення міжгрупової дисперсії із загальною. Це відношення на­зивається кореляційним відношенням:

Обчислимо ці параметри для наведеного прикладу. Спочатку обчислимо групові та загальні середні.

Графи 2 таблиці є розрахунковими.

Загальна дисперсія, яка характеризує загальну варіацію під впливом усіх факторів, дорівнює

Загальна середня дорівнює

Міжгрупова дисперсія, яка характеризує факторну варіацію, тобто відмінності у виробітку, обумовлені тим, що частина робітників пройшла перепідготовку, становить:

де – число одиниць у групі, i — число груп. Таким чином, кореляційне відношення становить

(тобто 93,1%).

Це треба розуміти так, що 93,1 % всієї варіації обу­мовлено фактором, який покладено в основу групу­вання, і тільки 6,9 % варіації є результатом дії інших. Такими, наприклад, можуть бути вік робітника, його стать та ін.

Кореляційне відношення змінюється від 0 до 1. Коли міжгрупова дисперсія дорівнює нулю, що мож­ливо лише тоді, коли всі групові середні однакові, тобто коли кореляційний зв'язок між середніми відсутній. Причому міжгрупова дисперсія дорівнює загальній, а середня з групових – нулю. Це означає, що кожному значенню факторної ознаки відповідає єдине значення результативної ознаки, тобто зв'язок між ознаками функціональний.

Припустимо, що ми поділили робітників на дві групи за ознакою числа літер у прізвищі (парне чи не­парне) і обчислені групові середні відрізняються. Але в цьому випадку різниця є випадковістю.

Перевірку істотності (невипадковості) відхилень групових середніх здійснюють за допомогою стати­стичних критеріїв. У даному випадку можна викори­стати критерій Фішера, або порівняти фактичне значення з критичним (табличним).

У таблиці розподіл залежить від числа ступенів вільності факторної К₁ та випадкової К₂ дисперсій.

де т — число груп; п — загальний обсяг сукупності.

«Входами» в таблицю критичних значень є числа ступенів вільності К₁, К_г та рівень значимості , який задається дослідником і характеризує, в якій мірі він ризикує помилитися в своєму припущенні (про «невипадковість»).

Для нашого прикладу

а  оберемо на рівні 5 %.

За таблицею критичних значень для рівня істотності  = 0,05 знаходимо .

Це означає, що тільки в 5 випадках із 100 може ви­падково виникнути кореляційне відношення, яке пе­ревищує значення 0,399. Тепер треба порівняти фак­тичне значення з критичним. Якщо воно більше кри­тичного, то зв'язок між факторною і результативною ознакою вважається істотним:

Тобто, зв'язок між фактом проходження робіт­ником перепідготовки та зростанням продуктивності праці слід вважати істотним.