Лабораторная работа №2 Целочисленная задача линейного программирования о распиле

Цель: научиться строить математические модели целочисленных экономических задач в форме задач линейного программирования и решать их с помощью ЭВМ.

Задание: записать задачу об оптимальном распиле A бревен длиной 3 м, обеспечивающем образование максимального числа комплектов, состоящих из брусков m размеров a₁,…, a_m, которые в комплекте находятся в пропорции k₁:k₂:k₃ в виде задачи целочисленного линейного программирования и решить их с помощью ЭВМ.

Краткие теоретические положения

Имеется А брёвен длиной по 3м. Их необходимо распилить на бруски m размеров a₁,…, a_m. Из брусков образуют комплекты, количество брусков в которых к₁,…, к_m. Определить, какое количество бревен, и по какому способу необходимо распилить для образования максимального количества комплектов.

Пусть имеется n способов распила бревен на бруски и х₁,…, х_n- количество бревен, распиленных по каждому способу, а х_n+1- количество полученных комплектов.

Математическая модель задачи:

(1),

где - количество бревен, распиленных всеми способами;

- количество брусков размера , выпиливаемых из бревна при -ном способе распила;

- количество брусков размера а_m, выпиливаемых всеми возможными способами;

- количество брусков размера а_m, входящих во все комплекты

Индивидуальное задание

Имеется А брёвен длиной по 3м. Их необходимо распилить четырьмя различными способами на бруски 3-х размеров a₁, а₂, а₃. Из брусков образуют комплекты, количество брусков в которых к₁, к₂, к₃. Определить, какое количество бревен, и по какому способу необходимо распилить для образования максимального количества комплектов.

Числовые параметры индивидуального задания определяются по номеру варианта Nv из таблицы 1 приложений.

Пример выполнения работы

Nv=30- номер варианта.

Для решения задачи строим математическую модель задачи. Из таблицы 1 приложений: A=100, a₁=0.6, a₂=1.5, a₃=2.5, k₁=2, k₂=1, k₃=3.

Определим 4 возможных способа распила бревен длиной 3 м на брусья указанной длины, при каждом способе бревно должно использоваться максимально, т.е. нельзя из остатка выпилить хотя бы один дополнительный брусок. Все эти способы приведены в таблице:

Номер способа распила	Количество брусьев 0.6 м	Количество брусьев 1.5 м	Количество брусьев 2.5 м
1	5	0	0
2	2	1	0
3	0	2	0
4	0	0	1

Таким образом, для данного набора трех типов брусков определили 4 возможных способа распила одного бревна длиной 3 м. Поставим в соответствие каждому способу x_i неизвестную величину x_i , , где x_i- количество бревен, распиленных по способу i. Пусть x₅- количество образованных комплектов их брусков, полученных после распиливания бревен. Получаем задачу ЦЛП:

z=x₅ max – количество комплектов;

x₁+x₂+x₃+x₄ 100 – общее количество распиленных бревен;

5x₁+2x₂2x₅ - количество брусков по 0.6 м;

x₂+2x₃x₅ - количество брусков по 1.5 м;

x₄3x₅ - количество брусков по 2.5 м;

x₁, x₂, x₃, x₄0 – условие неотрицательности;

x₁, x₂, x₃, x₄- целые - условие целочисленности .

или:

z=x₅ max;

x₁+x₂+x₃+x₄ 100;

5x₁+2x₂-2x₅0;

x₂+2x₃-x₅0;

x₄-3x₅0;

x₁, x₂, x₃, x₄0;

x₁, x₂, x₃, x₄-целые.

Величина x₁+x₂+x₃+x₄ равна количеству распиленных бревен, поэтому первое ограничение возникло в силу ограниченности имеющегося запаса бревен числом A=100. Второе ограничение образовано с использованием таблицы, где приведены все возможные способы распила бревна длиной 3 м на бруски заданных размеров. При этом число 5x₁+2x₂ равно количеству брусков длиной 0.6 м, образовавшихся в результате распила, а число 2x₅=k₁x₅- это количество брусков данного типа, содержащихся во всех комплектах. Ограничение 5x₁+2x₂-2x₅0 показывает количество брусков длиной 0.6 м не вошедших в состав комплектов, т.е. пошедших в остаток. Аналогичный смысл имеют третье и четвертое ограничения. Пятое ограничение - условие неотрицательности переменных. Наконец, шестое ограничение- условие целочисленности, означающее, что количества распиленных брёвен x₁, x₂, x₃, x₄- должны быть целыми числами.

Запускаем файл lr2.xls и после завершения работы программы ‘Поиск решения’, получаем

переменные	x1	x2	x3	x4	x5
значения	10	1	12	75	25
нижняя граница	0	0	0	0	0	Тип задачи
верхняя граница	0	0	0	0	0	z	max
целевая функция	0	0	0	0	1	25
	целое	целое	целое	целое	целое
	Ограничения					левая часть	знак	правая часть
бревна	1	1	1	1	0	98	<=	100
бруски 1	5	2	0	0	-2	2	=>	0
бруски 2	0	1	2	0	-1	0	=>	0
бруски 3	0	0	0	1	-3	0	=>	0

Таким образом, в оптимальном решении:

1) Получено комплектов- x₅=25;

2. Распилено бревен по

первому способу: x₁=10;

второму: x₂=1;

третьему: x₃=12;

четвертому: x₄=75;

Не распиленных бревен осталось: A- x₁- x₂- x₃- x₄=

=100-10-1-12-75=2, т.е. 2 бревна оказались не распилены;

3. Количество остатков (м): 3A-x₅()=

=3·100--25(20.6+1 1.5+3∙2.5)=45м., где величина -общая длина брусков в одном комплекте.

При таком способе расчёта остатками считаем:

а) не распиленные брёвна;

б) бруски, не вошедшие в комплекты;

в) остатки, образующиеся после распила брёвен.

5) а) Брусков первого типа, длиной 0.6 м не вошло в комплекты

5x₁+2x₂-2x₅=5∙10+2∙1-2∙25=2;

б) Брусков второго типа, длиной 1.5 м не вошло в комплекты:

x₂+2x₃-х₅=1+2∙12-25=0;

в) Брусков третьего типа, длиной 2.5 м не вошло в комплекты

x₄-3x₅=75-3∙25=0;.