Лабораторная работа №7 Решение задачи о размещении производства с помощью пакета exсel

Цель: Научиться использовать пакет EXСEL для решения вариантных задачах размещения производства.

Задание: Имеется 4 населенных пункта: А₁, А₂, А₃, А₄, соединенные сетью дорог, как показано на рисунке:

В каждом населенном пункте потребляется однородный продукт в количествах b₁, b₂, b₃, b₄ соответственно. В пункте А₄ он также производится в объеме d₄. Затраты по перевозке 1 ед. продукта по транспортным магистралям выражаются коэффициентами . Затраты на размещение производства в каждом из населенных пунктов составляют соответственно величины h₁, h₂, h₃.

Требуется определить в каком из трех А₁, А₂, А₃ населённых пунктов разместить производство дополнительного количества S= b₁+ b₂+ b₃+ b₄-d₄ единиц данного продукта при условии удовлетворения спроса в каждом населенном пункте и минимизации суммарных транспортных затрат и затрат на размещение производства.

Краткие теоретические сведения

Данная задача является задачей поиска наилучшего варианта из трех имеющихся способов размещения дополнительного производства объемом S=b₁+b₂+b₃+b₄-d₄, в одном из пунктов: А₁, А₂, А₃. Введём в рассмотрение три переменные y₁, y₂, y₃, принимающие значения 0 или 1(переменные, обладающие таким свойством, называются булевскими) такие, что y_i=1 тогда и только тогда, когда дополнительное производство будет размещено в пункте A_i, где . Тогда задача сводится к задаче целочисленного линейного программирования. Тот факт, что дополнительное производство будет размещено, только в одном из пунктов математически запишется в виде системы ограничений:

y₁+ y₂+ y₃=1;

0 y₁1; 0 y₂1; 0 y₃1;

у₁,у₂,у₃ – целые.

При этом затраты на размещение дополнительного производства составят величину: y₁h₁+ y₂h₂+ y₃h₃ (в последней сумме только одно слагаемое отлично от 0). С учетом транспортных затрат целевая функция для данной задачи имеет вид:

z=c₁x₁+ c₂x₂+ c₃x₃+ c₄x₄+ c₅x₅+ c₆x₆+ y₁h₁+ y₂h₂+ y₃h₃,

где x_i- величина транспортного потока перевозок продукта по дуге i, c_i- коэффициент удельных транспортных расходов при перевозках по данной магистрали. Система неравенств материального баланса для производства и потребления и потоков перевозок для каждого населенного пункта имеет вид:

b₁+x₅+x₂ x₁+x₄+y₁S - для пункта А₁;

b₂+x₃+x₁ x₂+y₂S - для пункта А₂;

b₃+x₆  x₅+y₃S - для пункта А₃;

b₄+x₄  x₃+x₆+d₄ - для пункта А₄.

В левой части неравенств записываем объём потребляемой и вывозимой продукции, а в правой - объём ввозимой и возможно производимой продукции (для пункта А₄ объём ввозимой и производимой продукции).

Таким образом, изучаемая задача сводится целочисленной задаче линейного программирования на поиск минимума:

z=c₁x₁+ c₂x₂+ c₃x₃+ c₄x₄+ c₅x₅+ c₆x₆+ y₁h₁+ y₂h₂+ y₃h₃min;

x₁- x₂+x₄- x₅+y₁S b₁;

-x₁+x₂- x₃ +y₂S b₂;

x₅- x₆+y₃S b₃;

x₃- x₄+x₆ b₄-d₄;

y₁+ y₂+ y₃=1; 0 y₁1;

0 y₁1; y₁- целое;

0 y₂1; y₂- целое;

0 y₃1; y₃- целое;

x₁0; x₂0; x₃0; x₄0; x₅0; x₆0.