Нахождение оптимальной структуры портфеля ценных бумаг с помощью решения задачи квадратического программирования с использованием пакета excel
Цель: выбрать оптимальную структуру пакета из четырех видов ценных бумаг, исходя из критерия минимума финансового риска при заданной нижней границе эффективности вложений в ценные бумаги.
Задание: известны:
а) величины
прибыли
при условии вложения всего капитала в
бумаги вида
,
,
б) нижняя граница эффективности вложений
капитала
,
в) матрица ковариаций, элементы которой
показывают риск при вложении инвестиций
в ценные бумаги,
.
Необходимо определить доли вложения
капитала в каждый вид ценных бумаг,
чтобы при заданной эффективности
вложений свести к минимуму финансовый
риск.
Краткие теоретические положения
Предположим,
инвестор решает задачу об оптимальном
вложении капитала в набор n
видов ценных
бумаг. Известен размер прибыли
,
получаемой, если вложить весь капитал
в ценные бумаги вида
,
где
.
Структура портфеля ценных бумаг
определяется набором долей
,
вложения капитала в бумаги вида
,
т.е. набором неотрицательных чисел,
удовлетворяющих условию
.
Ожидаемая прибыль
является случайной величиной вида
и является выпуклой линейной комбинацией
величин
в
соответствии с их долями. По условию,
прибыль должно быть не меньше заданной
нижней границы
,
т.е.
.
При этом должен быть минимизирован
финансовый
риск вложения
капитала, определяемый величиной
дисперсии
размера ожидаемой прибыли. Так как
случайная величина прибыли является
линейной комбинацией заданных случайных
величин
с числовыми коэффициентами
,
то указанная дисперсия вычисляется по
формуле
, (1)
где
ковариация
случайных величин
вычисляется по формуле
и для случая i=j
совпадает
с их дисперсией. Формула (1) может быть
записана в
матричном виде:
, (2)
где
вектор
долей,
результат
его транспонирования,
- матрица ковариаций
случайных величин
.
На практике матрица
может быть получена в результате
эконометрических исследований инвестора
или из справочных данных. Например,
очень часто оказывается, что случайные
величины
некоррелированны (вложение капитала в
ценные бумаги вида
не влияет на вложение капитала в ценные
бумаги типа
),
т.е.
=0,
если
В этом случае матрица
является диагональной, причем по
диагонали расположены дисперсии
случайных величин
.
С учетом сформулированных условий,
задача выбора оптимального портфеля
ценных бумаг имеет вид:
(3)
Задача (3)- это
задача квадратического программирования
с двумя линейными ограничениями и
условиями неотрицательности переменных
.
В общем случае каноническая задача
квадратического программирования
записывается в виде
(4)
Здесь
-
число,
-
вектор неизвестных,
-
вектор линейной формы квадратической
функции,
-
линейная форма, входящая в состав
квадратической функции,
-
квадратическая форма, входящая в состав
квадратической функции,
-
матрица квадратичной формы, симметрическая
квадратная матрица,
-
матрица коэффициентов линейных
ограничений,
-
вектор правых частей линейных ограничений.
С помощью введения новых переменных и
изменения обозначений изучаемая задача
(3) может быть приведена к каноническому
виду (4). Пусть инвестор имеет возможность
вложить капитал в ценные бумаги с отдачей
.
Тогда задача оптимизации портфеля
ценных бумаг может быть записана в виде
(5)
Если инвестор
имеет возможность вложить долю
капитала в сферу с гарантированной (но
относительно малой) отдачей
,
тогда задача оптимизации портфеля
ценных бумаг может быть записана в виде
(6)
В качестве
характеристики решения задачи об
оптимизации портфеля инвестиций можно
использовать доверительный интервал
с уровнем доверия P
для величины ожидаемой прибыли.
Предполагая случайные величины
нормально распределенными, получаем,
что доверительный интервал
,
где
-
значение интегральной функции Лапласа.
Примечание: В выводах по найденному оптимальному решению указать математическое ожидание прибыли, дисперсию прибыли, структуру портфеля инвестиций, доверительный интервал с уровнем доверия P=0.95 для ожидаемой прибыли.