Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.

Определение: По определению кривая называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках () расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.

Выпуклость вверх Выпуклое множество

Выпуклость вниз Невыпуклое множество

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)

Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство () для всех .

Доказательство:

Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h[a,b], имеет место неравенство , откуда .

Если теперь и - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( - )/n, будем иметь

.

Таким образом, (, и, переходя к пределу при , получим неравенство , показывающее, что производная на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда на (a,b).

Обратно, пусть и . Нам нужно доказать, что функция , где , удовлетворяет неравенству . Допустим, что это не так. Тогда . Поэтому .

Применяя формулу Тейлора, получим

0=. Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.

Доказательство в случае аналогично.

Теорема доказана.

Билет 23

Правило Лопиталя. Случай 0/0.

Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0)

Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а,

в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то

Доказательство:

1) a – конечное.

Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]

при

f(a)=g(a)=0 =>

2)

Пусть

Введем функции и

Теорема доказана.

Замечание: обратное неверно.

Пример:

Билет 24

Правило Лопиталя. Случай .

Теорема:

Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a ии в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если

, то и

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне

и

Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =

- аналогично для g(x)

Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:

,

Используя термины можно записать:

, Пояснение: , а т.к.

Найдем теперь предел отношения к :

[ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ]

[ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше]

- по определению предела по Гейне.

Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.

Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е.

Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому

Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.

Билет 25