Раздел 2. Дифференциальное исчисление

§ 2.1. Производная

Определение производной
Правила вычисления производных

П усть дан график непрерывной функции y = f (x) (рис.)

Возьмем на кривой y = f (x) точки М (х; у) и М₁ (х₁; у₁) , где х₁ = х + ∆х, у₁ = у + ∆у (∆х – приращение аргумента, ∆у – приращение функции). Проведем секущую ММ₁, угловой коэффициент которой обозначим через k_1, т.е. k₁ = tg φ₁. Из треугольника ММ₁Р находим .

Предположим, что точка М остается неподвижной, а точка М₁, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к М. Тогда:

Секущая ММ₁ поворачивается вокруг точки М, приближаясь к положению касательной;
х₁ → х, а следовательно, ∆х = (х₁ – х)→0;
угол φ₁ стремится к углу φ между касательной и осью Ох.

Пусть k – угловой коэффициент касательной, т.е. k =tgφ. Так как tg φ₁ – непрерывная функция (случай, когда φ₁ = , пока исключим из рассмотрения), то .

Итак, угловой коэффициент касательной определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю: .

Производной функции y = f (x) в данной точке х называют предел отношения приращения функции ∆у к соответствующему приращению аргумента ∆х при условии, что ∆х →0, т.е.

Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведенная от данной функции по указанному правилу.

§ 2.2. Правила и формулы вычисления производных

Определение производной четко указывает действия, которые нужно выполнить для ее нахождения, что позволяет непосредственно вычислять производную любой элементарной функции. Непосредственное дифференцирование позволяет вывести основные правила и формулы дифференцирования.

Все правила и формулы дифференцирования сведем в таблицу и в дальнейшем будем пользоваться ею, подобно тому, как в арифметике пользуются таблицей умножения.