§ 1.2. Вычисление пределов

Теоремы о пределах

Пусть и , тогда

1)

2)

3) (при условии, что В ≠ 0)

Пусть х₀ - предел переменной величины х, то равенство . Эта формула выражает очень важное для вычисления пределов правило: если функция непрерывна, то при отыскании ее предела можно вместо аргумента подставить его предельное значение.

Пример 2. Вычислить . Решение: При х = 1 дробь определена, так как ее знаменатель отличен от нуля. Поэтому для вычисления предела достаточно заменить аргумент его предельным значением. Тогда получим .

Указанное правило вычисления пределов нельзя применять в следующих случаях:

1. Если функция при х = а не определена;

2. Если знаменатель дроби при подстановке х = а оказывается равным нулю;

3. Если числитель и знаменатель дроби при подстановке х = а одновременно оказываются равными нулю или бесконечности.

В таких случаях пределы функций находят с помощью различных искусственных приемов.

Раскрытие неопределенности вида

С отношением двух бесконечно больших величин мы встречаемся в выражениях типа , где P_n (x) и Q_m (x) - многочлены. При вычислении предела необходимо избавиться в числителе либо в знаменателе от бесконечно большой величины. Для этого делим числитель и знаменатель дроби на старшую степень числителя (либо знаменателя).

Пример 3. Вычислить . Решение: необходимо разделить числитель и знаменатель на старшую степень числителя х6. . Пример 4. Вычислить . Решение: необходимо разделить числитель и знаменатель на старшую степень многочленов - х5. .

Раскрытие неопределенности

В некоторых случаях при вычислении пределов вида после подстановки а – предельного значения для х получается неопределенность 0/ 0, т.е. f(a) = 0 и q(a) = 0.

Приемы раскрытия неопределенности вида 0/0:

1. Пусть f(х) и q(х) – многочлены. Если f(a) = 0 и q(a) = 0, то число а является корнем данных многочленов, т.е. в разложении многочленов на множители будет присутствовать сомножитель (х – а). Сократив дробь на (х – а), получаем новое выражение, предел которого равен пределу исходного.

Пример 5. Вычислить Решение: .

2. Если f(х) и q(х) содержат иррациональность, то избавившись от иррациональности, нужно перейти к приему 1).

Пример 6. Вычислить . Решение:

3. В случае, если неопределенность 0/0 содержит тригонометрические функции, обычно для ее раскрытия используется 1^ый замечательный предел.

Пример 7. Вычислить . Решение: .

Раскрытие неопределенности вида

Для ее раскрытия используется 2^ой замечательный предел.

Пример 8. Вычислить . Решение:

Контрольная работа №1

Вычислите пределы:

Вариант 1 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Вариант 2 1) ; 2) ;

3) ;4) ; 5) .

Вариант 3 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Вариант 4 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Вариант 5 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Вариант 6 1) ; 2) ;

3) ; 4); 5) .

Вариант 7 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Вариант 8 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Вариант 9 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Вариант 10 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Вопросы для повторения:

1. Дайте определение предела функции в точке.

2. Перечислите свойства пределов.

3. Дайте определение непрерывной функции.

4. Какие пределы называются односторонними?

5. Каких видов бывают точки разрыва функции?

6. Сформулируйте и запишите первый и второй замечательные пределы.

7. Объясните основной метод раскрытия неопределенности ( 0/0 ).