Раздел 1. Теория пределов
§1.1. Предел и непрерывность функции
-
Предел функции в точке
-
Непрерывность функции в точке
-
Точки разрыва
-
Вычисление пределов
Предел функции — одно из основных понятий современной математики. С его помощью вводятся многие другие важные математические понятия.
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Под пределом переменной понимают такую постоянную, к которой неограниченно приближается эта переменная: начиная с некоторого момента ее значения отличаются от данной постоянной на величину, модуль которой меньше любого положительного числа, каким бы малым оно ни было. Другими словами, в изменении переменной величины можно указать такой момент, начиная с которого модуль разности переменной и постоянной становится и остается меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.
Введем понятие предела функции y=f(x), определенной в некотором интервале, содержащем точку х=а (в самой точке х=а заданная функция может быть и не определена).
Число b называют пределом функции y=f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0 < |х - а| < δ, (1)
выполняется неравенство | f (x) – b | < ε. (2)
Употребляются
следующие обозначения для предела
функции при х,
стремящемся
к а:
Отметим, что х стремится к а произвольным образом: аргумент х может принимать значения или меньше а, или больше а, или те и другие (х<а и х>а). Выясним геометрический смысл понятия предела функции y = f(x) в точке х=а, воспользовавшись ее графиком (рис. 1).
Н
еравенство
(1) означает, что точка х
отстоит
от точки а
на
расстоянии, меньшем δ,
т. е.
принадлежит интервалу (а
- δ;
а
+ δ)
или δ-окрестности
точки
а
на
оси Ох.
Эту
окрестность обозначают через О
(а, δ). Из
неравенства (2) видно, что значения
функции y=f(x)
при
указанных значениях аргумента х
попадают
в интервал (b
- ε;
b
+ ε)
оси
Оу,
т.
е. принадлежат ε-окрестности точки b
на
этой оси. Эту окрестность обозначим
0(b,
ε).
Следовательно,
если
,
то
точка М
графика
этой функции будет находиться в полоске
шириной 2ε, ограниченной прямыми у
= b
- ε,
у = b
+ ε для
всех значений х,
отстоящих
от точки а
меньше, чем на δ.
Другими
словами, если
когда
х
попадает
в δ-окрестность точки a,
f(x)
находится
в ε-окрестности точки b.
Таким образом, выражение «функция f(x) в точке х=а имеет предел b» означает следующее: если значения аргумента достаточно мало отличаются от числа а, то соответствующие значения функции f(x) достаточно мало отличаются от числа b. Иначе говоря, если значения аргумента неограниченно приближаются к постоянной а, то соответствующие значения функции неограниченно приближаются к постоянной b.
Из
определения предела функции следует,
что предел постоянной равен этой
постоянной:
(3)
Рассматривают также односторонние пределы функции f(x) в точке х=а: предел слева (когда х стремится к а, оставаясь меньше а) и предел справа (когда х стремится к а, оставаясь больше а). Для этих пределов вводят обозначения:
и
Запись
x→a
- 0
означает, что х
стремится
к а,
оставаясь
меньше а,
а
запись х→а
+ 0 —
что х
стремится
к а,
оставаясь
больше а.
Когда а
= 0,
вместо 0—0 пишут —0, вместо 0 + 0 пишут
+0, поэтому обозначения односторонних
пределов принимают вид:
и
Сформулируем определения односторонних пределов функции f(x).
Число b 1 называют пределом слева функции f(x) в точке а, если для любого числа ε >0 существует такое δ>0, что |f(x)-b1 | < ε (4)
при всех х, удовлетворяющих условию а — δ < х < а. (5)
Этот
односторонний предел обозначают так
Число b2 называют пределом справа функции f(x) в точке а, если для любого числа ε > 0 существует такое δ > 0, что | f(x) – b2 | < ε (6)
при всех х, удовлетворяющих условию а < х < а + δ.
Этот
односторонний предел обозначают так
(7)
Очевидно, если односторонние пределы равны, т. е. b1 = b2 (см. рис. 2А), предел функции f(x) в точке х = а существует и равен этим односторонним пределам. В самом деле, если b1 = b2= b и выполняются неравенства (4) — (7), то будет выполняться и неравенство (2) при условии (1):
Е
сли
односторонние пределы различны (рис.
2Б) или хотя
бы один из них не существует, то не
существует
и предел функции в точке х
= а.
Рис. 2А Рис. 2Б
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Непрерывность функции является важным математическим понятием. Функцию считают непрерывной, если при постепенном (непрерывном) изменении аргумента значения ее меняются также постепенно, без скачков. Наглядному представлению о непрерывности функции способствует ее график, который можно построить, не отрывая карандаш от бумаги. Если функция имеет разрыв, то начертить таким образом ее график не представляется возможным.
Функцию y=f(x), определенную на интервале (a; b), называют непрерывной в точке х0 из (a; b), если предел этой функции в точке х0 равен ее значению при х = х0 :
(1)
ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
Рассмотрим
функцию y=f(x),
определенную
на интервале (a;
b),
кроме, может быть, точки
Значение аргумента х0
называют
точкой
разрыва данной
функции, если в ней функция определена,
но не является непрерывной или не
определена в этой точке. Говорят, что
функция имеет разрыв при х
= х0
.
Среди точек разрыва функции различают - точки устранимого разрыва, - точки разрыва первого рода, - точки разрыва второго рода.
-
Если функция y=f(x) разрывна в точке х0 и имеет в ней конечные равные односторонние пределы f (x0 – 0) =
f
(x0
+0) =
то
х0
называют
точкой
устранимого разрыва.
-
Если х0 – точка разрыва функции y=f(x) и существуют конечные односторонние пределы f (x0 – 0) и f (x0 +0), причем f (x0 – 0) ≠ f (x0 +0), то х0 называют точкой разрыва первого рода. Разность f (x0 +0) - f (x0 – 0) называют скачком функции f(x) в точке х0.
-
Если х0 – точка разрыва функции y=f(x) и хотя бы один из односторонних пределов либо является бесконечным, либо не существует, то х0 называют точкой разрыва второго рода.
|
Пример 1. Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Требуется:
у1 = х – 1 непрерывна для всех х < 0; у2 = х2 – 1 непрерывна в каждой точке из [0; 1]; у3 = 2 непрерывна в каждой точке интервала (1; ∞). Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки х1 = 0 и х2 = 1, где функция меняет свое аналитическое выражение. Исследуем точку х1 = 0:
y (0) = - 1, т.е. точка х1 = 0 есть точка непрерывности функции. Исследуем точку х2 = 1:
y (1) = 0, т.е. точка х2 =1 – точка разрыва первого рода. Скачок функции: 1 – 0 = 1. Сделаем чертеж:
|
Проверочная работа № 1
Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Требуется:
-
Найти точки разрыва функции, если они существуют;
-
Найти скачок функции в каждой точке разрыва;
-
Сделать чертеж.
Вариант 1. y
=
Вариант
2. y
=
Вариант 3. y
=
Вариант
4. y
=
Вариант 5. y
=
Вариант
6. y
=
Вариант 7. y
=
Вариант
8. y
=
Вариант 9. y
=
Вариант
10. y
=
