22

Оглавление

Введение 3

§1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши 3

§2. Теоремы Лопиталя-Бернулли 5

§3. Формула Тейлора 8

§4. Исследование функций и построение графиков 11

4.1. Возрастание и убывание функций. Экстремумы 11

4.2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке 14

4.3. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, точек перегиба 15

4.4. Нахождение асимптот графика функции 16

4.5. Полное исследование функций и построение графиков 18

Использованная литература 22

Применение производной

Введение

Производная находит широкое применение при решении различных задач. В настоящей методической работе приведен необходимый материал без доказательства, который проиллюстрирован примерами. Далее приведены примеры для самостоятельного решения. Нами рассмотрены теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Теоремы Лопиталя-Бернули для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов, формула Тейлора и применение производной для исследования функций.

Для понимания материала и решения задач студенту необходимо знать таблицу производных и правила дифференцирования функций. Методическая работа может быть использована студентами и преподавателями на практических занятиях по данной теме.

§1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и на концах отрезка принимает равные значения, т.е. , то существует точка такая, что . Точки, в которых , называются стационарными точками функции .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то существует точка такая, что справедливо равенство

.

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы в интервале и , то существует точка такая, что

.

Решить следующие задачи:

1. Функция имеет на концах отрезка равные значения (проверьте). Производная данной функции в интервале не обращается в нуль ни в одной точке (проверьте). Какие условия Теоремы Ролля для данной функции на отрезке не выполнены?

2. Пусть . Показать, что три корня уравнения действительны.

3. Доказать, что уравнение не имеет корней в интервале .

4. Пусть в интервале . Доказать, что на .

5. Пусть и удовлетворяют всем условиям Теоремы Коши на . Применим Теорему Лагранжа к функциям и , тогда получим . Из последних двух равенств получим:

(Формула Коши)

Найти ошибку в доказательстве.

§2. Теоремы Лопиталя-Бернулли

Раскрытие неопределённостей типа и

Первая теорема Лопиталя-Бернулли. Пусть для функций и выполнены условия:

1. Функции и дифференцируемы в промежутке и

2. 

3. Существует предел . Тогда

Вторая теорема Лопиталя-Бернулли. Пусть для функций и выполнены условия:

1. Функции и дифференцируемы в промежутке , причем

2. 

3. Существует предел . Тогда

Замечание. Теоремы Лопиталя-Бернулли справедливы и при .

Пример 1. Вычислить предел .

Решение.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение.

Этот пример показывает, что степенная функция даже с очень большим показателем при растет медленнее, чем показательная функция.

Раскрытие неопределённостей типа

Неопределённость типа возникает при нахождении пределов от произведения двух функций, т.е. , где , а . В этом случае произведение записывают так, чтобы можно было воспользоваться первой или второй теоремой Лопиталя-Бернулли.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. В данном примере неопределённость , которую сведём к неопределённости и применим вторую теорему Лопиталя-Бернулли.

.

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределённость .

.

Мы воспользовались соотношением при . Применяя далее первую теорему Лопиталя-Бернулли, получим:

Неопределённости вида возникают при вычислении пределов . Для вычисления данного предела предварительно вычисляют предел . Отсюда следует, что .

Таким образом, раскрытие неопределенностей сводится к раскрытию соответственно неопределённостей , которые в свою очередь могут быть сведены к раскрытию неопределённостей или с применением соответствующих теорем Лопиталя-Бернулли.

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределённость . Предварительно вычислим предел . В данном случае мы использовали соотношение , и результат примера 3.

Пример 6. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределённость . Логарифмируя и применяя теорему Лопиталя-Бернулли, получим:

.

Отсюда имеем: .

Найти следующие пределы

6.	14.	22.
7.	15.	23.
8.	16.	24.
9.	17.	25.
10.	18.	26.
11.	19.	27.
12.	20.	28.
13.	21.	29.