курсовая работа / Тау12 / КП 1 - 10

Дано:

структурная схема системы управления (СУ)

Провести анализ устойчивости СУ методами:

Провести (1) структурный анализ САУ и свести ее структурную схему к одноконтурной, (2) вычислить передаточные функции в операторной форме для замкнутой и разомкнутой системы, осуществить переход к передаточным функциям в форме изображений по Лапласу, а затем к частотным передаточным функциям и (3) выделить их действительную и мнимую часть, по ним (4) выполнить построение АФЧХ разомкнутой и замкнутой систем, (5) произвести анализ устойчивости САУ произвольно выбранным методом и (7) определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе по АФЧХ разомкнутой системы или ее логарифмическим характеристикам, (8) выполнить оценку качества управления прямым методом, для чего построить график переходного процесса и определить по нему все показатели качества, (9) сделать вывод о качестве управления и сформировать рекомендации для повышения показателей качества.

Воспользуясь методом структурных преобразований, сведем систему к одноконтурной:

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы:

Передаточная функция разомкнутой системы в изображениях по Лапласу:

Передаточная функция замкнутой системы в изображениях по Лапласу:

Перейдем к частотным передаточным функциям, для чего произведем замену комплексной переменной s на чисто мнимую переменную j

Выделим действительную и мнимую части:

Построим АФЧХ разомкнутой САУ:

Построим АФЧХ замкнутой САУ:

Определим устойчивость разомкнутой системы прямым методом Ляпунова:

согласно критерию Ляпунова, линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения системы лежат слева от мнимой оси, то есть их действительные части строго меньше 0, т.к. в этом случае декремент затухания больше единицы.

Составим характеристическое уравнение разомкнутой системы, оно получается из знаменателя передаточной функции путем замены оператора p на переменную :

Определим корни характеристического уравнения:

Как видно, все корни действительные (апериодическая система 4 порядка), меньшие (и равные, так как система астатическая 2 порядка) 0, следовательно разомкнутая система устойчива.

Устойчивость замкнутой системы определим по критерию Найквиста:

система, устойчивая в разомкнутом состоянии, сохраняет ее в замкнутом, если ее АФЧХ при изменении частоты от 0 до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1; j0).

Как видно из ранее построенной АФЧХ, она не охватывает данную точку, следовательно система является устойчивой.

Построим ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы в полулогарифмическом масштабе относительно оси частоты:

Определим запас устойчивости по фазе:

Определим запас устойчивости по амплитуде:

Так как фаза не переходит границу -, система имеет бесконечный запас по амплитуде

Как видим, запасы устойчивости получились достаточно высокими.

Построим ЛАЧХ и ФЧХ замкнутой системы в полулогарифмическом масштабе относительно оси частоты:

Определим запас устойчивости по фазе:

Определим запас устойчивости по амплитуде:

Запасы устойчивости по амплитуде и фазе превышают установленные минимумы 6 дБ и 30^о соответственно, следовательно система будет работать устойчиво при значительных изменениях параметров.

Определим качество регулирования прямым методом.

Построим переходный процесс в разомкнутой системе.

Подадим на вход системы ступенчатое воздействие:

Проведем обратное преобразование Лапласа:

Установившееся значение:

Построим график:

Процесс расходящийся, система неустойчива, поэтому определять показатели качества бессмысленно.

Построим переходный процесс в замкнутой системе.

Подадим на вход системы ступенчатое воздействие:

Проведем обратное преобразование Лапласа:

Установившееся значение:

Построим график:

Определим показатели качества регулирования:

время переходного процесса (время регулирования), за которое он входит в пределы допустимых отклонений порядка 5%

время первого согласования, за которое сигнал в первый раз достигает установившегося значения

число колебаний за время регулирования

максимальное значение сигнала на выходе

перерегулирование, отношение максимального отклонения от установившегося значения к этому значению, выраженное в процентах

время нарастания, за которое сигнал увеличивается до максимального значения

период и частота колебаний

декремент затухания

Параметры замкнутой системы лучше, чем у исходной. Показатели качества замкнутой системы превышают допустимые: перерегулирование свыше 30%, число колебаний за время регулирования больше 2-3, остальные параметры: время регулирования, частота колебаний, декремент затухания в пределах нормы, следовательно система работоспособна при условии, что объект управления не предъявляет более жестких требований.