Операции над векторами

Сложение векторов

Два вектора и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника

Правило треугольника. Для сложения двух векторов по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и пересекаются. Поэтому определены векторы и .

Прямые, на которых расположены векторы и пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов можно понимать сумму векторов и и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы не образуют пару.

• Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе,

= .

Скалярным произведением векторов и b называют число, равное | |•| | cos ф где ф -угол между векторами и . Обозначения: • .

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол ф не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

1. • = • . — коммутативность.

2. • ( + ) = • + • — дистрибутивность.

(• ) = • ()— линейность по отношению к умножению на число

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора на направление единичного вектора.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ф между ними

• вектор ортогонален каждому из векторов и

• вектор направлен так, что тройка векторов , , является правой.

Геометрически векторное произведение х есть ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы и , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Векторное произведение двух векторов

Во многих вопросах геометрии и прикладной математики, кроме рассмотренного уже нами скалярного произведения, играет большую роль понятие так называемого векторного произведе­ния двух векторов, к определению которого мы переходим.

Векторным произведением векторов Р и Q называ­ется вектор R, определяемый следующими условиями:

a) длина вектора R численно равна произведению длин векторов Р и Q и синуса угла ф, заключенного между ними:

Иными словами, длина вектора R численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах Р и Q (в предположении, что эти векторы проведены из общего начала), или, что все равно,— удвоенной площади треуголь­ника, построенного на этих векторах (рис.).

b) вектор R перпендикулярен к плоскости векторов Р и Q, то есть к плоскости, параллельной векторам Р и Q. Можно для наглядности представить себе, что начала этих векторов совмещены, как на рис., тогда упомянутая плоскость есть плоскость, содержащая векторы Р и Q (или всякая ей параллельная).

Эти условия еще не вполне определяют вектор R: остается сде­лать выбор между двумя возможными противоположными направ­лениями. Чтобы устранить эту двойственность, мы добавляем следующее условие:

c) векторы Р, Q, R (в указанном порядке) составляют левую систему.

Смешанное произведение

Смешанное произведение () векторов , , — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объем параллелепипеда, натянутого на векторы , , .

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Условие коллинеарности векторов

Векторы коллинеарны, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.

Формулы (1) и (2) кратко записывают в виде следующих про­порций:

соответственно

При этом обращение какого-нибудь из знаменателей в нуль означает, в соответствии с равенствами (1) или (2), что и числитель этой дроби равен нулю.

Понимать эти равенства надо с таким условием: если какой-то знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель (про пропорциональность).

Здесь один из знаменателей может оказаться равным нулю. Чтобы обойти эту трудность, договоримся всякую пропорцию понимать в смысле равенства ad = bс. Тогда обращение в нуль одно­го из знаменателей в (17) означает обращение в нуль и соответст­вующего числителя.

О векторных величинах. В приложениях математики часто рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил и т. д. Векторам, изображающим такие величины, приписывается размерность. Не вдаваясь в существо дела, мы ограничимся изложением формальных правил действий с размер­ностями. С формальной точки зрения размерность — это одно­член, составленный из какого-то набора символов. Такие одночлены перемножаются и делятся по обычным прави­лам действий над одночленами. Имеют место следующие правила действий с размерностями:

Складывать векторные величины можно только в том случае, когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же, что и у слагаемых.

При умножении векторной величины на скалярную их размерности перемножаются.

Модуль векторной величины имеет ту же размер­ность, что и сама величина.

Скалярное и векторное произведение имеют размер­ность, равную произведению размерностей сомножителей. Это легко следует из их определений и предыдущего правила.

Для того чтобы изобразить векторную величину на чертеже, мы должны условиться о масштабе: сколькими единицами длины мы будем изображать одну единицу данной размерности (например, км, м/сек, И).

Если в векторном произведении сомножители имеют размерность длины, то произведение имеет размерность площади. Масштаб для изображения единиц площади выбирается так, чтобы одна единица площади изобража­лась одной линейной единицей. При этом длина вектор­ного произведения будет численно равна площади парал­лелограмма, построенного на сомножителях.

Поскольку единица длины у нас выбрана раз навсегда и не меняется, указанное соглашение ни к каким проти­воречиям привести не может. Однако оно не так безобид­но, как может показаться. Именно, два математика поль­зующиеся этим соглашением, но разными единицами длины (например, француз, пользующийся сантиметрами, и англичанин — дюймами), для одних и тех же векторов нарисуют несовпадающие векторные произведения.

Вектор, длина которого равна единице, называется ортом.

Вектором можно воспользоваться для задания направления в пространстве. Так как длина вектора для этой цели безразлична, то ради удобства в этом случае можно пользоваться вектором, длина которого равна единице. Такой вектор называют ортом, или единичным вектором. В частности, ортом данной оси называется вектор длины единицы, указывающий ее направление.

Рассмотрим вектор , параллельный дан­ному орту (рис.). Легко видеть, что этот вектор можно представить в виде

= Р, (1)

где Р обозначает некоторое число (скаляр). Именно, Р = ± ||, где плюс берется, если и направлены одинаково, а минус — в противном случае. Это непосредственно вытекает из понятия произведения вектора и числа. Например, если длина вектора равна 5 и он одинаково направлен с , то

= 5;

Ортогональная проекция вектора на ось

1. Угол между двумя направлениями. Прежде всего условимся, что называть углом между двумя направлениями па плоскости или в пространстве. Пусть даны два направления (например, направления двух осей, или двух векторов, или вектора и оси). Проведем из произвольной точки два вектора тех же направлений (рис.). Углом между рассматриваемыми направлениями называется тот из двух углов между этими векторами, который не превосходит . Если направления одинаковы, то угол между ними равен нулю; если направле­ния противоположны, то угол между ними равен .

2. Углом между двумя векторами называется угол между их положительными направлениями, заключенный в пределах от 0 до 180°; если начала векторов не совпадают, то для измерения угла между ними следует, не изменяя направлений, перенести их так, чтобы начала совпали.

Л е м м а 1. Проекция вектора равна произведению проекции вектора на к.

Это предложение следует из того, что параллельными прямыми плоскостями) все заключенные между ними прямые делятся па про­порциональные части (причем в случае к < 0 надо принять во внима­ние, что при умножении на отрицательное число как вектор, так и его проекция меняют направление па обратное).

Лемма 2. Проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов.

Доказательство. Так как при построении суммы нескольких векторов начало каждого из складываемых векторов совмещается с концом предыдущего вектора, то и начало проекции каждого из складываемых векторов совмещается с концом проекции предыду­щего вектора; при этом совмещении, в силу леммы 1 (проекции равных векторов равны), проекции, передвигаясь по прямой, на которую производится проектирование, остаются равными себе как векторы. Таким образом, векторная ло­маная, служащая для построения суммы векторов, проектируется в векторную ломаную, служащую для построения суммы проекций этих векторов. Так как начало первого вектора проектируется в начало его проекции, а конец последнего вектора — в конец его про­екции, то вектор-сумма первоначальных векторов проектируется в век­тор-сумму их проекций, и лемма доказана.

Лемма 3. Положение центра тяжести системы точечных масс не изменится, если любую частичную группу точечных масс системы заме­нить одной точечной массой, расположенной в центре тяжести этой группы и имеющей в качестве массы сумму масс точек этой группы.

Действительно, так как положение центра тяжести, очевидно, не зависит от способа нумерации точек, то мы можем считать, что речь идет о группе из n первых точечных масс. Она заменяется одной точечной массой, сосредоточенной в её центре тяжести,

Эта лемма часто применяется при вычислении координат центров тяже­стей различных тел: тело разбивают на отдельные куски, центры тяжести которых легко найти, заменяя эти куски фиктивными точечными массами, равными массам этих кусков и сосредоточенными в их центрах тяжести, центр тяжести всего тела находят как центр тяжести этих точечных масс.

Центр тяжести С системы, состоящей из двух материальных точек М, М, обладающих положительными массами m и m, находится на отрезке MM и делит его на части, обратно пропорциональные массам m, m (в частности, центр тяжести двух точек, обладающих одинаковыми массами, находится посредине между ними).

Терминами «материальная точка», «масса» мы пользуемся исключи­тельно ради наглядности. В сущности речь идет о точках, каждой из которых приводится в соответствие некоторое число, которое (условно) называется «массой». Эти «массы» могут быть и отрицательными; в этом случае мы будем предполагать дополнительно, что сумма масс m + m+. . .+m отлична от нуля.

Необходимые и достаточные условия расположения трех точек на одной прямой и четырех точек на одной плоскости. Так как три точки коллинеарны (т. е. лежат на одной прямой) тогда и только тогда, когда площадь построенного на них „треугольника" равна нулю, и, точно так же, четыре точки компланарны (т. е. лежат на одной плоскости) тогда и только тогда, когда объем построенного на них «тетраэдра» равен нулю.

Правая и левая системы трех направлений

Введем теперь одно понятие, которое нам понадобится в сле­дующем параграфе, а также и впоследствии.

Рассмотрим три орта , , , не параллельных одной и той же плоскости, и вообразим, что их начала совмещены.

Представим себе наблюдателя, расположенного вдоль орта так, что этот орт направлен от ног наблюдателя к голове, и вообразим, что наблюдатель смотрит по направлению орта . Тогда могут представиться два случая ¹): либо (рис. а) - орт направлен (по отношению к наблюдателю) слева направо, либо (рис. b) —справа налево. В первом случае направления , , (взятые в указанном порядке) составляют левую систему, а во втором — правую. Название «левая» происходит от того, что в первом случае орты , , (взятые в указанном порядке) ориен­тированы друг относительно друга так, как большой, указатель­ный и средний пальцы левой руки (предполагается, что первые два пальца вытянуты, а третий согнут под углом к ладони). Таким же образом орты , , , составляющие правую систему, связаны с пальцами правой руки.

Левая система ортов , , останется левой, если произвести «круговую перестановку» (круговой перестановкой нескольких элементов а, b, с, . . . , k, рас­положенных в определенном порядке, называется такая перестановка, при которой каждый элемент заменяется на следующий, а последний — на пер­вый. Например, применяя круговую перестановку к трем элементам а, b, с, получим b, с, а. Производя круговую перестановку еще раз, получим с, а, b. Если произведем круговую перестановку еще раз, то вернемся к старому порядку) их, т. е. рассматривать их в порядке , , . Аналогичное свойство имеет место для правой системы. Наоборот, левая система перейдет в правую и обратно, если поме­нять местами только два орта. Например, если система , , левая, то система , , будет правой. Зеркальное отражение левой системы даёт правую, и обратно.

Так же можно различать левую и правую системы трех векто­ров, трех осей и вообще трех направлений.

Упражнения и дополнения

1. Векторный момент относительно точки. Пусть — некоторый связанный или скользящий вектор и пусть С — некоторая точка. Векторным моментом вектора относительно точки С называют вектор , приложенный к точке С и определяемый следующими условиями: длина вектора численно равна произведению длины вектора и перпендикуляра h, опущенного из точки С на прямую, содержащую век­тор ; вектор перпендикулярен к плоскости CAB и направлен в такую сторону, чтобы векторы , составляли левую систему.

Точка С называется центром (или полюсом) момента.

Легко видеть, что момент вектора относительно данной точки не изме­нится, если переместить этот вектор вдоль прямой, содержащей его. Наобо­рот, если перемещать эту прямую, то момент будет изменяться, так как при этом будет изменяться либо величина h, либо направление L, либо и то, и другое вместе. Вот почему понятие момента применяют только к скользя­щим или связанным векторам, но не к свободным, которые можно произ­вольно перемещать (не изменяя направления).

Предлагается доказать, что

.

2. Mомент равнодействующей нескольких векторов, приложенных к данной точке А, равен сумме моментов составляющих («обобщенная теорема Вариньона»).

Смешанное произведение есть скаляр­ная величина, ибо оно получается, как результат скалярного перемножения двух векторов (Р и Q) и R. Оно имеет весьма простое геометрическое значение. А имен­но, легко показать, что смешанное произ­ведение трех векторов Р, Q, R равно объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах (отложен­ных от одной и той же точки); при этом объему приписывается определенный знак.

Разложение вектора по данным направлениям

Мы считаем полезным повторить, с целью подчеркнуть их, некоторые результаты, по­лученные нами ранее. Для сокращения речи условимся в одном термине: если несколько свободных векторов параллельны одной и той же плоскости, то мы будем говорить, что они компланарны. В частности, два вектора всегда компланарны; чтобы в этом убе­диться, достаточно отложить их от одной и той же точки. Ясно, далее, что направление плоскости, которой параллельны два дан­ных вектора, вполне определено, если эти два вектора не парал­лельны между собою. Любую плоскость, которой параллельны данные компланарные векторы, мы будем называть просто пло­скостью данных векторов.

2) Слово «компланарные» означает в сущности: «имеющие общую плос­кость», т. е. «расположенные в одной плоскости». Но так как речь здесь идет о свободных векторах, которые можно переносить (не изменяя длины и направ­ления) произвольным образом, мы должны называть компланарными векторы, параллельные одной и той же плоскости, ибо в этом случае их можно пере­нести так, чтобы они оказались расположенными в одной плоскости.

1

24