3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Вектор – отрезок, имеющий определенную длину и направление. Любой вектор можно разложить по ортам координатных осей:

, где

х, у, z – проекции вектора на оси координат, - орты (единичные векторы координатных осей).

Модуль (длина) вектора определяется по формуле:

(3.1.1)

Если известны координаты начала и конца В()вектора, то вектор можно записать следующим образом:

(3.1.2)

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

.

Отсюда нетрудно определить угол между векторами

. (3.1.3)

Если векторы и заданы своими проекциями = и =, то скалярное произведение находится по формуле:

. (3.1.4)

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.:

. (3.1.5)

Векторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый условиями:

1. вектор перпендикулярен векторам и , т.е. , ;

2. векторы , и образуют правую тройку;

3. длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

.

Для векторов, заданных проекциями = и =, векторное произведение имеет вид:

. (3.1.6)

Отсюда, условие коллинеарности векторов:

. (3.1.7)

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.Е.:

().

Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Если векторы заданы проекциями =, = и =, то смешанное произведение имеет вид:

. (3.1.8)

Условие компланарности (принадлежности трех векторов одной плоскости или параллельности плоскостям), имеет вид:

. (3.1.9)

Знание векторной алгебры во многом упрощает решение задач по аналитической геометрии в пространстве.

Так, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(), перпендикулярно вектору имеет вид:

. (3.1.10)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(), В(), и С(), имеет вид:

(3.1.11)

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

, (3.1.12)

где ()-точка, через которую проходит прямая; -проекции направляющего вектора прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две точки, определяются так:

. (3.1.13)

Если прямая вида (3.1.12) перпендикулярна плоскости, заданной общим уравнением: , то выполняется условие:

. (3.1.14)

Рассмотрим несколько примеров применения изложенных выше теоретических положений.

Пример 6.

Записать вектор в системе орт и найти его модуль, если А(1, 2, 3);

В(0, 1, 5).

Решение.

Используя формулу (3.1.2) получим:

=(0-1)=.

Используя формулу (3.1.1), найдем модуль этого вектора:

(ед.дл.)

Пример 7.

Найти угол между векторами и .

Решение.

Используя формулу (3.1.3), получим:

,

что соответствует углу .

Пример 8.

Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами и

, выходящими из одной точки.

Решение.

Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равна модуля векторного произведения векторов и :

.

Векторное произведение найдем по формуле (3.1.6):

Найдем модуль полученного вектора, используя формулу (3.1.1):

Тогда искомая площадь будет:

(кв.ед.)

Пример 9.

Найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах:

.

Решение:

Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах как на ребрах, равен

, где ,

где -смешанное произведение векторов.

Величину найдем по формуле (3.1.8):

=

Тогда (куб.ед.).

Пример 10.

Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки А(1,2,5) и В(0,1,2).

Решение:

Подставив координаты точек А и В в уравнение (3.1.13), получим:

; ; .

Пример 11.

Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, 2, 3);

В(1, 1, 0) и С(2, 3, 1).

Решение:

Используя уравнение (3.1.11), получим:

(х-1),

Пример 12.

Через точку А(1, 0, 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости

Решение.

Используем канонические уравнения прямой (3.1.12), подставив координаты точки А, получим:

.

Проекции направляющего вектора прямой найдем из условия перпендикулярности прямой и плоскости (3.1.14).

В нашем случае это будет:, тогда будем иметь:.

Задание 1. Найдите матрицу , если:

1) ; 2) ;

3); 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ;

10) ;

11);

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

Задание 2. Решите матричные уравнения и проверьте подстановкой:

1 a) ; б) ;

2 а) ; б) ;

3 а) ; б) ;

4 a) ; б) ;

5 а) ; б) ;

6 а) ; б) ;

7 a) ; б) ;

8 а) ; б) ;

9 а) ; б) ;

10 а) ; б) ;

11 а) ; б) ;

12 а) ; б) ;

13 а) ; б) ;

14 а) ; б) ;

15 а) ; б) ;

16 а) ; б) ;

17 а) ; б) ;

18 а) ; б ) ;

19 а) ; б) ;

20 а) ; б ) ;

21 а) ; б) ;

22 а) ; б) ;

23 а) ; б) ;

24 а) ; б) ;

25 а) ; б) ;

26 а) ; б) ;

27 а) ; б) ;

28 а) ; б) ;

29 а) ; б) ;

30 а) ; б) .

Задание 3. Решите систему уравнений с помощью обратной матрицы:

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

21 22

23 24

25 26

27 28

29 30

Задание 4. Исследуйте следующие системы уравнений и найдите их решения:

1 а) б) ъ

2 а) б)

3 а) б)

4 а) б)

5 а) б)

6 а) б)

7 а) б)

8 а) б)

9 а) б)

10 а) б)

11 а) б)

12 а) б)

13 а) б)

14 а) б)

15 а) б)

16 а) б)

17 а) б)

18 а) б)

19 а) б)

20 а) б)

21 а) б)

22 а) б)

23 а) б)

24 а) б)

25 а) б)

26 а) б)

27 а) б)

28 а) б)

29 а) б)

30 а) б)

Задача 5

Даны координаты вершин треугольника .

Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнение стороны и ее угловой коэффициент;

3) уравнение и длину высоты ;

4) уравнение медианы ;

5) уравнение биссектрисы ;

6) координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

1. А(-5;0), В(7;9), С(5;-5). 11. А(-5;2), В(7;-7), С(5;7).

2. А(-7;2),В(5;11),С(3;-3). 12. А(-7;5), В(5;-4), С(3;10).

3. А(-5;-3), В(7;6), С(5;-8). 13. А(-7;1), В(5;-8), С(3;10).

4. А(-6;-2), В(6;7), С(4;-7). 14. А(0;3), В(12;-6), С(10;8).

5. А(-8;-4), В(4;5), С(2;-9). 15. А(-8;4), В(4;-5), С(2;9).

6. А(0;-1), В(12;8), С(10;-6). 16. А(-2;2), В(10;-7), С(8;7).

7. А(-6;1), В(6;10), С(4;-4). 17. А(1;2), В(13;-7), С(11;7).

8. А(-2;-4), В(10;5), С(8;-9). 18. А(-4;1), В(8;-8), С(6;6).

9. А(-3;0), В(9;9), С(7;-5). 19. А(-7;-1), В(5;-10), С(3;4).

10. А(-9;-2), В(3;7), С(1;-7). 20. А(-3;3), В(9;-6), С(7;8).

Задача 6

Даны координаты вершин пирамиды .

Найти:

1. векторы в системе орт и их модули;

2. угол между векторами ;

3. площадь грани ;

4. объем пирамиды ;

5. уравнение ребра ;

6. уравнение плоскости ;

7. уравнение высоты, опущенной из точки на плоскость ;

8. Координаты точки , симметричной точке , относительно прямой ;

9. Координаты проекции точки на плоскость ;

10. Уравнение плоскости, проходящей через сторону параллельно стороне ;

11. Расстояние от точки до прямой ;

12. Расстояние между прямыми и .

1. А(1;2;1), В(-1;5;1), С(-1;2;7), D(1;5;9).

2. А(2;3;2), В(0;6;2), С(0;3;8), D(2;6;10).

3. А(0;3;2), В(-2;6;2), С(-2;3;8), D(0;6;10).

4. А(2;1;2), В(0;4;2), С(0;1;8), D(2;4;10).

5. А(2;3;0), В(0;6;0), С(0;3;6), D(2;6;8).

6. А(2;2;1), В(0;5;1), С(0;2;7), D(2;5;9).

7. А(1;3;1), В(-1;6;1), С(-1;3;7), D(1;6;9).

8. А(1;2;2), В(-1;5;2), С(-1;2;8), D(1;5;10).

9. А(2;3;1), В(0;6;1), С(0;3;7), D(2;6;9).

10. А(2;2;2), В(0;5;2), С(0;2;8), D(2;5;10).

11. А(1;3;2), В(-1;6;2), С(-1;3;8), D(1;6;10).

12. А(0;1;2), В(-2;4;2), С(-2;1;8), D(0;4;10).

13. А(0;3;0), В(-2;6;0), С(-2;3;6), D(0;6;8).

14. А(2;1;0), В(0;4;0), С(0;1;6), D(2;4;8).

15. А(0;2;1), В(-2;5;1), С(-2;2;7), D(0;5;9).

16. А(1;1;1), В(-1;4;1), С(-1;1;7), D(1;4;9).

17. А(1;2;0), В(-1;5;0), С(-1;2;6), D(1;5;8).

18. А(0;1;0), В(-2;4;0), С(-2;1;6), D(0;4;8).

19. А(0;1;1), В(-2;4;1), С(-2;1;7), D(0;5;9).

20. А(0;2;0), В(-2;5;0), С(-2;2;6), D(0;5;8).

Литература:

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. –М.: Рольф, 2002.-288с., с ил.

2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. –М.: Рольф, 2001.-576с., с ил.

Лицензия РБ на издательскую деятельность №0261 от 10 апреля 1998 года.

Подписано в печать _____2008г. Формат 60х84.

Бумага типографская. Гарнитура Таймс.