Вопросы и упражнения для самопроверки:

1. Дайте определение определенного интеграла.

2. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

Дифференциальные уравнения.

По данной теме сначала изучите §24-30 гл. 8 [3] или §1, 2 гл. 10 [7]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки. Решите следующие задачи: [3] гл. 8 §24 № 8. 1 - 8. 8 или [4] гл. 10 № 1 - 26.

Из контрольной работы выполните пятое задание своего варианта.

Понятие о дифференциальном уравнении.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения F (х, у, у') = 0.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(х, С) от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф (х, у, С) = 0, называется общим интегралом.

Частным решением уравнения F(х, у, у') = 0 называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С: у =φ (х, Со), где С_а — фиксированное число.

Частным интегралом уравнения F(x, у, у') = 0 называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф (х, y, С₀) = 0.

График любого частного решения дифференциального уравнения F (x, y, у') = 0 называется интегральной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра С.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Общий вид такого уравнения

X (х) ∙ Y (y)dx + X₁(х) ∙ Y₁ (у) ∙ dy = 0,

где Х(х), Х₁(х) - функции только от х,

Y (y) - функции только от у.

Поделив обе части уравнения на произведение Х₁ (х) ∙ Y(у) ≠ 0, получим уравнение с разделенными переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Пример 2. Решить уравнение у' = . Найти частное решение, удовлетворяющее условию у = 3 при х = 2 .

Решение. Так как у' =, то, откуда (х² + 1) dy = xydx.

Разделим обе части уравнения на произведение у (х² + 1):

Интегрируя, находим

После потенцирования получим решение | у | = | С₁ | , откуда

y = ± C₁, или у = С , где С = ± C₁.

Произведение у (х² +1) = 0 при у = 0; так как при этом значении у дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, то у = 0 – решение уравнения. Но оно входит в решение у = С при С = 0. Значит, общее решение уравнения имеет вид у = С .

Подставив в общее решение значения у = 3 и x = 2, получим 3 = С ∙ 3, откуда С = 1. Частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид у = + 1.