2.3. Схема уровней энергии и спектр атома водорода

Энергетические уровни атома водорода (заряд ядра ) можно вычислить, воспользовавшись формулами (2.40), (2.41) и (2.51):

, (2.60)

где главное квантовое число принимает значения .

Перейдя к международной системе (СИ), получим

, (2.61)

где – диэлектрическая постоянная, Ф/м.

Энергия , как следует из (2.61), зависит только от главного квантового числа n. Когда оно задано, то из (см. формулу 2.51) вытекает, что орбитальное квантовое число может принимать лишь такие значения:

. (2.62)

Магнитное квантовое число при заданном пробегает следующие значения

. (2.63)

Одновременно с энергией атома принимают определенные значения момент импульса та его проекция на некоторое выделенное направление :

(2.64)

. (2.65)

Таким образом, динамическое значение главного квантового числа , орбитального и магнитного заключается в том, что они определяют величину энергии, величину момента импульса и величину проекции момента импульса.

Три величины , и полностью определяют волновую функцию и поэтому образуют полный набор величин. Количество их, как и должно быть, равняется трем, то есть числу степеней свободы.

Воспользовавшись значениями постоянных , и , вычислим квантовые уровни энергии электрона, который движется в поле ядра водорода (протона). Эти уровни показаны на рис.2.1.

Подсчитаем, сколько различных волновых функций принадлежит квантовому уровню . Для каждого мы имеем функций, которые отличаются числом . Но изменяется от 0 до , поэтому полное количество функций будет

. (2.66)

Таким образом, каждому квантовому уровню энергии принадлежит различных состояний. В этом случае мы имеем дело со случаем – кратного вырождения. Вырождение по числу называют нормальным, по числу – случайным.

Переход электрона между уровнями сопровождается излучением или поглощением кванта энергии:

. (2.67)

Рис.2.1. Диаграмма уровней атома водорода

Используя (2.60), получим из последней формулы

. (2.68)

Эта формула определяет частоту света, который излучается или поглощается атомом водорода. Величина называется термом. Разность термов определяет частоты. Для атома водорода терм

. (2.69)

В оптической спектроскопии чаще употребляют термин «спектральный терм». Под этим понимается значение

, (2.70)

которое отсчитывается для атомов от границы ионизации и выражается в см ^{- 1}.

Величина называется постоянной Ридберга

или (в СИ). (2.71)

В случае, когда равняется массе покоя электрона (случай бесконечно тяжелого ядра ), постоянная равна

, (2.72)

а для атома водорода

. (2.73)

Спектральная частота перехода между уровнями и составляет

. (2.74)

Длина волны перехода между уровнями и определяется формулой

. (2.75)

Для атома водорода .

На диаграмме рис.2.1 справа нанесены числа спектральных термов.

Различные серии в спектре излучения атома водорода возникают в результате перехода электрона с верхних уровней на нижние. Переходы на уровень образуют серию Лаймана⁴ (УФ диапазон), на уровень – серию Бальмера⁵ (видимый), на уровень – серию Пашена⁶ (ИК диапазон) и т.д.

Спектральные линии серии Бальмера обозначают буквами

и т.д.

Спектры водородоподобных ионов , и т.п. имеют такой же вид, как и рассмотренный спектр водорода, но все линии смещаются в область более коротких волн, поскольку в этих случаях постоянную Ридберга необходимо увеличить в раз.

Электрон на уровнях с числом n может находиться в различных квантовых состояниях в зависимости от орбитального квантового числа l.