
- •«Физические основы электронной техники. Квантовая механика»
- •2. Движение микрочастицы в поле центральной
- •2.1. Поле центральной симметрии
- •2. 2. Атом водорода. Радиальная часть волновой функции
- •2.3. Схема уровней энергии и спектр атома водорода
- •2.4. Волновые функции атома водорода и распределение электронной плотности
- •2.5. Изотопический сдвиг и водородоподобные ионы
- •2.6. Энергетический спектр атомов щелочных металлов
2. 2. Атом водорода. Радиальная часть волновой функции
Наиболее
простой задачей квантовой механики
является задача о движении электрона
в кулоновском поле ядра. В атоме водорода,
ионах
и других многозарядных ионах, которые
имеют лишь один электрон, потенциальная
энергия электрона в поле ядра имеет вид
2
,
(2.37)(2.2.1)
где
–
заряд ядра.
Подставим (2.37) в (2.26) и получим
.
(2.38)
Под
понимается
приведенная масса электрона
,
(2.39)
где
–
масса ядра,
– масса покоя электрона.
Введем
атомные единицы длины
и
энергии
(2.40)
и перейдем к безразмерным величинам
и
.
(2.41)
Это позволяет представить уравнение (2.38) в удобном для решения виде
.
(2.42)
Рассмотрим сначала асимптотические решения (2.42).
При
(вблизи ядра) уравнение принимает вид
.
(2.43)
Решение
ищем в форме
.
Подставив
в (2.43), получим квадратное уравнение
,
которое имеет два корня
и
.
Второй корень нас не удовлетворяет,
поскольку решение будет расходящимся.
Таким образом, имеем
.
(2.44)
При
(на большом расстоянии от ядра) уравнение
(2.42) приобретает вид
.
(2.45)
Здесь
возможные два случая:
и
.
Второй случай приводит к апериодическим
орбитам в классической механике (см.
раздел 2.1) и нас не интересует. Первый
описывает связанные состояния.
Обозначив
,
получим решение (2.45) в следующем виде
.
(2.46)
Поскольку
решение должно быть конечным, положим
и получим
.
(2.47)
Воспользовавшись асимптотическими решениями (2.44) и (2.47), запишем решение, которое будет справедливым для любой области
.
(2.48)
Подставляя ряд (2.48) в (2.42) и перегруппируя члены, получим
(2.49)
Приравнивая
коэффициенты при одинаковой степени
нулю,
находим рекуррентные соотношение для
неизвестных коэффициентов
:
.
(2.50)
При
коэффициенты
ведут себя
и сумма ряда
.
Следовательно, решение для
расходящееся.
Поэтому необходимо ограничить ряд
(2.49). Для этого будем считать, что начиная
с некоторого
коэффициент
,
в то время как
.
При этом условии из (2.50) получим
,
(2.51)
где
называется радиальным
квантовым числом,
а
–
главным
квантовым числом,
и они могут принимать следующие значения
(2.52)
Воспользовавшись
(2.51) и (2.50), найдем коэффициенты
многочлена (2.48) через коэффициент
,
а затем и сам многочлен:
(2.53)
Целесообразно ввести новую переменную:
.
(2.54)
Объединяя
все постоянные множители в один
,
мы получим из (2.25) и (2.53) функцию, которая
принадлежит квантовым числам
и
:
,
(2.55)
где
через
обозначен
многочлен, который заключен в фигурные
скобки в формуле (2.53). Этот многочлен
вычисляется с помощью производной от
многочлена Лагерра3
,
который определяются по формуле
.
(2.56)
Тогда
под многочленом
понимают многочлен
.
(2.57)
Нетрудно
убедиться, что когда
и
,
мы получим многочлен, который содержится
в фигурных скобках выражения (2.53).
Формулы
(2.56) и (2.57) позволяют легко вычислять
функции
.
Множитель в (2.55) определяется из условия
нормировки (2.10) и равняется
.
(2.58)
Иногда
полезно знать средние значения некоторых
степеней
в стационарных состояниях. Например,
(2.59)