Черняков Э.И. Лекции по дисциплине

«Физические основы электронной техники. Квантовая механика»

2. Движение микрочастицы в поле центральной

СИММЕТРИИ

2.1. Поле центральной симметрии

Поле центральной симметрии характеризуется тем, что потенциальная энергия частицы в таком поле зависит только от расстояния до некоторого центра. Задача заключается в том, чтобы определить стационарные состояния частицы, которая движется в поле .

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае имеет вид

. (2.1)

Волновую функцию удобнее искать как функцию сферических координат . Мы должны найти однозначные, непрерывные и конечные решения уравнения (2.1) во всей области переменных (). Координаты изменяются периодически. Воспользовавшись (1.30) и (1.31), получим из (2.1)

. (2.2)

Сферическая симметрия позволяет выделить в волновой функции радиальный и угловой множители

. (2.3)

Подставим (2.3) в (2.2) и выполним некоторые преобразования

. (2.4)

Левая и правая часть (2.4) зависят от разных независимых переменных, поэтому каждая из них должна равняться одной и той же постоянной, которую обозначим через .

Таким образом, для радиальной и сферической функций получаем следующие уравнения

, (2.5)

. (2.6)

Уравнение (2.5) зависит от вида потенциальной энергии . Поэтому вид радиальных функций и собственные значения энергии определяются конкретным видом поля, в котором движется частица. Уравнение (2.6) не зависит от вида поля, в котором находится частица, и решение этого уравнения для всех сферически симметричных полей одинаково.

Представив в виде

(2.7)

и обозначив постоянную разделение через , для функций и получаем следующие уравнения:

, (2.8)

. (2.9)

Условие нормировки (1.6) для волновой функции в этом случае можно предоставить в виде

. (2.10)

Решение (2.8) можно записать в виде

, (2.11)

где – постоянный множитель.

Из требования однозначности вытекает, что должно быть любым положительным или отрицательным целым числом. Из условия нормировки (2.10) получим . Поэтому все собственные функции уравнения (2.8) могут быть представлены в виде

. (2.12)

Перейдем в уравнении (2.9) к новой переменной и будем рассматривать как функцию . Тогда имеем

. (2.13)

Функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной при всех значениях угла .

Уравнение (2.13) называется присоединенным уравнением Лежандра¹. В частном случае имеем уравнение Лежандра

, (2.14)

которое имеет решения при условии

. (2.15)

Решением (2.14) (с точностью до множителя ) являются полиномы Лежандра

(формула Родрига), (2.16)

а для (2.13) – присоединенные полиномы Лежандра

(2.17)

Из условия нормировки для присоединенных полиномов Лежандра

(2.18)

и условия нормировки для волновой функции (2.10) определяем нормирующий множитель в решении для функции . Следовательно,

. (2.19)

Окончательно сферическую часть волновой функции можно записать в виде

. (2.20)

В стационарном состоянии сохраняется полная энергия, момент импульса (момент количества движения) и проекция момента импульса частицы. Другими словами операторы , и должны иметь общие собственные волновые функции. Запишем уравнение для собственных значений и

, (2.21)

, (2.22)

где операторы определяются (1.30) и (1.31). Воспользовавшись (2.7), (2.12) и (2.19), получим

, (2.23)

. (2.24)

Эти две формулы дают квантованные значения величины момента импульса и его проекции на ось . Поскольку компонента имеет определенное значение, две другие компоненты и согласно (1.25) определенных значений не могут иметь.

Определим четность волновой функции . Напомним, что выражение «волновая функция имеет определенную четность» означает, если в волновой функции координаты одновременно заменить на , то абсолютная величина функции не изменится, а ее знак либо не изменится (четная функция), либо изменится на противоположный (нечетная функция). В сферической системе координат отражения координат относительно начала координат сводится к замене на и на при неизменном значении . Следовательно, четность в (2.3) совпадает с четностью .

Множитель имеет четность , поскольку , а четность функции в соответствии с (2.12) определяется четностью числа . Четность произведения этих сомножителей совпадает с четностью числа . Следовательно, четность сферической функции определяется четностью квантового числа . Четность полной волновой функции частицы, которая движется в центрально-симметричном поле, совпадает с четностью квантового числа .

Квантовое число называют орбитальным квантовым числом, а квантовое число – магнитным.

Возможные значения энергии определяются из (2.5) и зависят от вида . Кроме того, они могут зависеть от (через число ), но не зависят от (и числа ). Это можно объяснить тем, что мы имеем дело с центрально-симметричным полем, а поэтому все направления в пространстве физически равноправны, и энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента импульса.

В реальных физических системах взаимодействие на больших расстояниях бесконечно мало. Это означает, что потенциальная энергия , и мы можем считать .

Характер решения уравнения (2.5) зависит от того, больше или меньше полная энергия значения потенциальной энергии, то есть или . Воспользуемся подстановкой

. (2.25)

В этом случае уравнение (2.5) принимает вид

. (2.26)

Сначала рассмотрим асимптотическое решение этого уравнения при . Пренебрегая для больших членом с и (при нашем условии ), получим простое уравнение

. (2.27)

Обозначив

и , (2.28)

получим общее решение в виде

, (2.29)

, (2.30)

где и – произвольные постоянные. Согласно с (2.25) асимптотическое решение уравнения (2.5) имеет вид

, (2.31)

. (2.32)

В первом случае () решение представляет собой суперпозицию расходящихся и сходящихся сферических волн. Вероятность найти частицу в этом случае не исчезает даже при больших . Вероятность найти ее между и пропорциональна и объему слоя :

. (2.33)

Такие состояния отвечают апериодическим орбитам в классической механике, когда частица движется из бесконечности к центру сил и опять уходит на бесконечность. Поскольку состояние стационарно, поток частиц, которые приходят, должен равняться потоку частиц, которые уходят. Это означает, что . При этом условии решение (2.31) можно представить в виде стоячей сферической волны

, (2.34)

где и – действительные постоянные.

Рассмотрим случай . В (2.32) необходимо положить , иначе при . Тогда

, (2.35)

и для этих состояний

. (2.36)

Это означает, что при , то есть частицу можно найти только возле центра сил. Такие состояния отвечают периодическим орбитам в классической механике, когда частица движется вокруг силового центра.

Можно доказать, что решение (2.31) уравнения (2.26) имеет место при любых значениях энергии , то есть при мы имеем непрерывный спектр энергии. При будем иметь дискретный спектр энергии. Это мы покажем на примере кулоновского поля.