Введение

Математическое моделирование широко проникло в различные области знаний и их приложения: технические, экономические, социальные, биологические и многие другие, на первый взгляд, далекие от математики. Поэтому специалисты различных направлений необходимо владеть концепциями и методами математического моделирования, иметь представление об инструментарии, применяемом при моделировании.

Первый и главный этап моделирования – собственно построение модели – очень часто опирается на некоторые имеющиеся исходные данные. При этом широко применяются вычислительные методы обработки данных: методы интерполяции, аппроксимации и др.

Основная задача моделирования различного рода процессов и систем с целью исследования объектов, прогнозирования их поведения или поиска наилучших условий функционирования сводится к расчету анализируемых показателей по математической модели при тех или иных значениях (или функциях) вводных величин. Важное значение при этом приобретают вычислительные алгоритмы, с помощью которых можно получить при моделировании решение конкретной математической задачи.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес моделированию ХХ век. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо в различных областях приложения. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Рассмотрим основные этапы моде­лирования системы, к числу которых относятся:

• построение кон­цептуальной модели системы и ее формализация;

• алгоритмизация модели системы и ее машинная реализация;

• получение и интерпре­тация результатов моделирования системы.

Таким образом, процесс моделирования системы S сводится к выполнению перечисленных подэтапов, сгруппированных в виде трех этапов. На этапе построения концептуальной модели M, и ее формализации проводится исследование моделируемого объекта с точки зрения выделения основных составляющих процесса его функционирования, определяются необходимые аппроксимации, и получается обобщенная схема модели системы S, которая преоб­разуется в машинную модель М_м на втором этапе моделирования путем последовательной алгоритмизации и программирования мо­дели. Последний третий этап моделирования системы сводится к проведению согласно полученному плану рабочих расчетов на ЭВМ с использованием выбранных программно-технических средств, получению и интерпретации результатов моделирования системы S с учетом воздействия внешней среды Е. Очевидно, что при построении модели и ее машинной реализации при получении новой информации возможен пересмотр ранее принятых решений, т. е. процесс моделирования является итерационным. Рассмотрим содержание каждого из этапов более подробно.

1. Общая часть

0. 1.1 Постановка задачи

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с работой систем массового обслуживания.

Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Предмет теории массового обслуживания — построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками — показателями эффективности СМО, описывающими, с той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком заявок. В качестве таких показателей (в зависимости от обстановки и целей исследования) могут применяться разные величины, например: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение, простои, и т. д.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию.

После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• посты технического обслуживания автомобилей;

• посты ремонта автомобилей;

• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;

• станции технического обслуживания автомобилей;

• аудиторские фирмы;

• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой

текущей отчетности предприятий;

• телефонные станции и т.д.

СМО делятся на два класса: «открытые» и «замкнутые». В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии находится сама СМО (сколько каналов занято), а в замкнутой СМО — зависят.

СМО могут быть одноканальными и многоканальными, что определяется количеством каналов. Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой «надоело ждать», покидает очередь).

Имеется еще один вид СМО ­– это системы с очередью, которые в свою очередь подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь — ограничена она или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми заявками»).

При анализе СМО должна учитываться также и «дисциплина обслуживания» — заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления (раньше пришла, раньше обслуживается), либо в случайном порядке. Нередко встречается так называемое обслуживание с приоритетом — некоторые заявки обслуживаются вне очереди.

Приоритет может быть абсолютным, когда заявка с более высоким приоритетом «вытесняет» из-под обслуживания заявку с низшим, или относительным, когда начатое обслуживание доводится до конца, а заявка с более высоким приоритетом имеет лишь право на лучшее место в очереди.

Существуют СМО с так называемым многофазовым обслуживанием, состоящим из нескольких последовательных этапов или «фаз» (например, покупатель, пришедший в магазин, должен сначала выбрать товар, затем оплатить его в кассе, после чего получить на контроле).

В СМО с ожиданием очередное требование, застав все устройства занятыми, становиться в очередь и ожидает обслуживания до тех пор, пока одно из устройств не освободиться. СМО с ожидание распространены наиболее широко.

Для решения СМО с отказами требуется определить:

1.Параметр и поток обслуживания;

2.Интенсивность потока заявок;

3.Предельную вероятность состояний;

4.Вероятность отказа в обслуживании заявки;

5.Относительная пропускная способность;

6.Абсолютная пропускная способность;

7.Среднее число занятых каналов;

8.Количество требуемых мест на предприятии.

Чтобы правильно решить задачу необходимо знать некоторые характеристики эффективности СМО с отказами:

1)Количество машин;

2)Среднее число отказов;

3)Среднее время обслуживания.

Перевод минут в часы:

P_отк=P_отк/60 (1)

Определим параметр и поток обслуживаний

(2)

Приведенная интенсивность потока заявок равна:

(3)

Предельные вероятности состояний найдём по формуле Эрланга

P_i = (ρⁱ /i!) * P₀ при i=0,1,2,.....N ; (4)

N

Р₀ = 1 / (Σ(ρⁱ / i!)) . (5)

i=0

Вероятность отказа показывает среднюю долю необслуженных заявок среди поданных и находится по формуле:

Р_отк= Р_N = (ρ^N / N!) * P_0. (6)

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (относительная пропускная способность):

q = 1- Р_отк= 1-(ρ^N / N!) * P_0. (7)

Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени:

А=q*= * ( 1- Р_отк). (8)