Контрольні питання

1. Дайте визначення орієнтованого графа.

2. Обгрунтуйте поняття суміжності вершин у графі. Наведіть приклади.

3. Що таке шлях в орграфі?

4. Чому рівна довжина шляху в орграфі?

5. Який шлях називається простим?

6. Що таке цикл? Наведіть приклади.

7. Який граф називається поміченим?

8. Які структури даних використовують для представлення орієнтованих графів?

9. Дайте визначення матриці вартостей і матриці суміжності.

10. Від чого залежить час доступу до елементів матриці суміжності? Поясніть.

11. В яких алгоритмах застосовують представлення орграфа у вигляді матриці суміжності? Обгрунтуйте свою відповідь.

12. Яким основним недоліком володіє, на Вашу думку, матриця суміжності?

13. Що таке список суміжності?

14. Які представлення через списки суміжності Ви знаєте?

15. Перелічіть спільні оператори, що виконуються орієнтованими графами, та дайте їм коротку характеристику.

16. В чому полягає задача знаходження найкоротшого шляху до однієї вершини в орграфі?

17. Для яких цілей на кожному кроці алгоритму Дейкстри використовується масив D?

18. Який шлях називається особливим?

19. Дайте обґрунтування алгоритму Дейкстри.

20. Якими величинами обмежується час виконання алгоритму Дейкстри?

Лабораторна робота № 4

Тема: Складення графіку проведення тенісного турніру (алгоритм «поділяй та

володій»)

Мета: Навчитись складати графік проведення тенісного турніру, використовуючи

алгоритм «поділяй та володій».

Теоретичні відомості

Метод декомпозиції одержав широке застосування не тільки при розробці алгоритмів, але і в проектуванні електронних схем, побудові математичних доведень та в інших сферах. В якості ілюстрації наведемо лише один приклад. Розглянемо складення розкладу проведення тенісного турніру за круговою схемою для n = 2^k гравців. Кожен гравець повинен зіграти із всіма іншими гравцями, при цьому кожен гравець повинен зіграти по одному матчу в день протягом (n–1) днів – мінімальної кількості днів, необхідних для проведення всього турніру.

Розклад проведення турніру, таким чином, являє собою таблицю, яка складається з n рядків та n-1 стовпчиків; елементом на перетині рядка і та стовпчика j є номер гравця, з яким гравець і повинен провест матч в j-й день.

Метод декомпозиції дозволяє скласти розклад для половини гравців. Цей розклад складається на основі рекурсивного застосування даного алгоритму для половини цієї половини гравців і т.д. Коли кількість гравців зменшиться до двох, виникає «базова ситуація», в якій ми просто встановлюємо порядок проведення зустрічей між ними.

Допустимо, в турнірі беруть участь вісім гравців. Розклад для гравців 1 – 4 заповнює верхній лівий кут (4 рядки х 3 стовпчики) розкладу, який формується. Нижній лівий кут (4 рядки х 3 стовпчики) цього розкладу повинен звести між собою гравців з вищими номерами (5 – 8). Ця частина розкладу одержується шляхом додавання числа 4 до кожного елемента в верхньому лівому куті.

Тепер необхідно звести між собою гравців з низькими і вищими номерами. Зробити це неважко: потрібно на 4-й день звести в пари гравців, які мають номери 1 – 4, з гравцями 5 – 8 відповідно, а в наступні просто циклічно переставляти номери 5 – 8. Цей процес показано на Рис.4.1.

1 2 3 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4	2 1 4 3	3 4 1 2	4 3 2 1	5 6 7 8	6 7 8 5	7 8 5 6	8 5 6 7
5 6 7 8	6 5 8 7	7 8 5 6	8 7 6 5	1 2 3 4	4 1 2 3	3 4 1 2	2 3 4 1

1

1 2	2
	1

1 2 3 4	2 1	3 4	4 3
	4 3	1 2	2 1

Рис. 4.1. Організація кругового турніру для восьми гравців.

Обчислимо шанси на перемогу команд в спортивних турнірах.

Допустимо, дві команди А і В проводять між собою турнір. Переможцем вважається той, хто першим виграє n матчів. Можна припустити, що сили команд А і В приблизно рівні, тобто у кожної з них є 50% шансів виграти черговий матч. Припустимо, P(i, j) – ймовірність того, що якщо А для перемоги потрібно провести і матчей, тоді в кінцевому рахунку перемогу на турнірі одержить А. Наприклад, якщо в турнірі команда А виграла два матчі, а команда В – один, то і = 2, j = 3 і, як ми переконаємося пізніше, Р(2, 3) =11/16.

Для того, щоб обчислити P(i, j), можна скористатися рекурентним рівнянням з двома змінними. По-перше, якщо і = 0 і j > 0, то команда А вже виграла турнір, тому P(0, j) = 1. Аналогічно, P(i, 0) = 0 для всіх і > 0. Якщо, як і, так і j більші за нуль, командам прийдеться провести, принаймні, ще один матч з рівними шансами виграти цю гру. Таким чином, P(i, j) повинно бути середнім значенням P(i - 1, j) та P(i, j - 1), перший з цих виразів є ймовірністю того, що команда А виграє турнір, навіть якщо програє наступний матч. Отже, отримаємо рекурентні співвідношення:

P(i, j) = 1, якщо і = 0 і j > 0,

P(i, j) = 0, якщо і > 0 і j = 0, (4.1)

P(i, j) = (P(i - 1, j) + P(i, j - 1)) /2, якщо і > 0 і j > 0.

Проблема з рекурентними обчисленнями заключається в тому, що потрібно періодично обчислювати одне і те ж значення P(i, j) декілька раз. Якщо, наприклад, потрібно обчислити Р(2, 3), то у відповідності з (4.1) необхідно спочатку обчислити Р(1, 3) і Р(2, 2). А для обчислення Р(1, 3) і Р(2, 2) потрібно обчислити Р(1, 2), тобто одне і те ж значення Р(1, 2) потрібно обчислити двічі.

Раціональнішим способом обчислення P(i, j) є заповнення спеціальної таблиці (див. Таблиця 4.1), в нижньому рядку якої присутні лише нулі, а крайній правий стовпчик повністю заповнений одиничками (це відповідає першим двом рядкам із (4.1)). Що ж до останнього рядка із (4.1), то всі інші елементи таблиці представляють собою середні значення елементів, які знаходяться знизу і справа від відповідного

Рис. 4.2.Шаблон

обчислень

елемента.

Таким чином, таблицю слід заповнювати, починаючи з її нижнього правого кута і рухатися вверх і вліво вздовж діагоналей, що представляють елементи з постійним значенням i + j, як показано на Рис.4.2.

Таблиця 4.1.

Таблиця ймовірностей

1/2	21/32	13/16	15/16	1	4
11/32	1/2	11/16	7/8	1	3
3/16	5/16	1/2	3/4	1	2	↑
1/16	1/8	1/4	1/2	1	1	j
0	0	0	0		0
4	3	2	1	0
← і