4 Методика статистической обработки результатов экспериментов

После проведенных опытов необходимо провести статистическую обработку результатов эксперимента по следующей методике:

- рассчитать построчные средние значения по каждому опыту;

- рассчитать построчные дисперсии по каждому опыту;

- рассчитать построчные средние квадратические отклонения по каждому

опыту.

Построчные средние значения Уср. результатов опытов расс­читываются по

формуле

, (1)

где Y_i - i-ое значение опыта;

n - Число повторений опыта.

Построчные дисперсии S² рассчитываются по формуле

. (2)

Построчные средние квадратические отклонения S рассчиты­ваются по

формуле

. (3)

Рассчитав статистические показатели, производят оценку значений выходной величины на грубую ошибку. Грубым считается тот результат, который по-своему численному значению сильно отличается от других значений выходной величины. Если экспериментатор подозревает результат замера выходной величины, как грубый замер, то подтвердить или отвергнуть данное предположение можно при помощи расчетного критерия Стьюдента (tp) по формуле

, (4)

где Yср - построчное среднее значение по опытам;

Y - Подозреваемый на грубую ошибку результат;

S - Среднее квадратическое отклонение выборки;

По таблицам определяют табличное значение критерия Стьюдента (tт), которое зависит от уровня значимости (q=0, 0540) и числа степеней свободы (f=n-l).

/ 1, с. 223 /

Если tт >tp, то подозреваемый на грубую ошибку результат не является

грубым. Если же условие не выполняется, то результат считается грубой ошибкой и

исключается из выборки замеров выходной величины, а эксперимент для опыта, где находился грубый результат повторяется.

После расчета статистических показателей по каждому опыту, проводят регрессионный анализ, т.е. рассчитывают коэффициенты математической модели.

5 Методика регрессионной обработки результатов экспери­ментов

Как отмечалось выше, по эксперименту можно получать модели в виде полинома первого и второго порядков. Следует отметить, что порядок получения моделей первого и второго порядков в целом не отличается, однако при расчете коэффициентов и проверки адекватности модели есть некоторые различия.

1. Методика получения математической модели по униформ-ротатабельному

плану

Математическая модель, получаемая по униформ-ротатабельному плану, это модель второго порядка, которая для трех переменных факторов имеет вид

У=А₀+А₁*Х₁+А*Х₂+А₃*Х₃+А₁₁*Х₁²+А₂₂*Х₂²+А₃₃*Х₃²+

+А₁₂*Х₁*Х₂+ А₁₃*Х₁*Х₃+ А₂₃*Х₂*Х₃ , (5)

где Ао - свободный член уравнения регрессии (модели);

А₁ - коэффициент при переменном факторе X₁:

А₂ - коэффициент при переменной факторе Х₂;

А₃ - коэффициент при переменной факторе Х₃;

А₁₂ - коэффициент при парном взаимодействии факторов X₁ и Х₂;

А₁₃ - коэффициент при парном взаимодействии факторов X₁ и Х₃;

А₂₃ - коэффициент при парном взаимодействии факторов X₂ и Х₃;

А₁₁ - коэффициент при квадратичном эффекте фактора X₁;

А₂₂ - коэффициент при квадратичном эффекте фактора Х₂;

А₃₃ - коэффициент при квадратичном эффекте фактора Х₃;

Однородность дисперсий проверяется по формуле

, (6)

где -максимальное значение дисперсии;

- суммарное значение дисперсии.

Затем определяются коэффициенты модели А₀,А_1,А₂,А₃, А₁₁, А₂₂, А₃₃, А₁₂, А₁₃, А₂₃ по формулам

, (7)

где , - коэффициенты, выбираемые по таблице;

; (8)

; (9)

; (10)

где - коэффициент, выбираемый по таблице для количества факторов К=3

; (11)

; (12)

; (13)

где Т₆ - коэффициент, выбираемый по таблице для количества факторов К=3

/ 1, с. 121 /

; (14)

; (15)

; (16)

где ,- коэффициент, выбираемый по таблице для количества факторов К=3. / 1, с. 121 /

После расчета коэффициентов модели их проверяют на значи­мость по формулам

t_p{A_i}= , (17)

где t_p{A_i} - расчетное значение критерия Стьюдента;

- значение коэффициента при соответству­ющем факторе по абсолютной величине;

- среднее квадратическое отклонение коэффи­циента;

t_p{A_ij}= , (18)

где t_p{A_ij} - расчетное значение критерия Стьюдента;

- значение соответствующего коэффициента при парном взаимодействии факторов по абсолютной величине;

- среднее квадратическое отклонение коэффи­циента.

t_p{A_ii}=, яя (19)

где t_p{A_ii} - расчетное значение критерия Стьюдента;

- значение соответствующего коэффициента при квадратичном факторе по абсолютной величине;

- среднее квадратическое отклонение коэффи­циента.

Дисперсии коэффициентов регрессии определяются по формулам

S²{A_i}=(T₃/n)*S²{A_ср}, (20)

где S²{A_i} - дисперсия коэффициента при соответствующем факторе;

Т₃ - табличный коэффициент;

S²{A_ср} - дисперсия среднего, характеризующая ошибку среднего;

n – число повторений опыта.

S²{A_ii}=((T₄+T₅)/n)*S²{A_ср}, (21)

где S²{A_ii} - дисперсия коэффициента при соответствующем квадра-

тичном факторе;

T₄,T₅ - табличные коэффициенты;

S²{A_ср} - дисперсия среднего, характеризующая ошибку среднего;

n - число повторений опыта.

S²{A_ij}=(T₆/n)*S²{A_ср}, (22)

где S²{A_ij} - дисперсия коэффициента при парном взаимодей­ствии

факторов;

T₆- табличный коэффициент;

S²{A_ср} - дисперсия среднего, характеризующая ошибка среднего;

n - число повторений опыта.

Дисперсия среднего S²{A_ср} рассчитывается по формуле

S²{A_ср}=, (23)

где - суммарное значение дисперсии;

N - число опытов.

Затем по таблицам в зависимости от уровня значимости (q=0,05) и числа степеней свободы, рассчитываемого по формуле

f =N*(n-1), (24)

ус­танавливают табличный критерий Стьюдента(t_p) и сравнивают его с расчетным. Коэффициент считается значимым если t_p>t_т . Если это условие не выполняется, то коэффициент вместе с соответс­твующим ему фактором исключается из модели.

/ 1, с. 223 /

После проверки значимости коэффициентов, модель проверяют на адекватность.

Если модель после проверки на значимость коэффициен­тов не претерпела

изменений ее переписывают, заменяя буквенные обозначения коэффициентов

(А₀,А_1,А₂,А₃, А₁₁, А₂₂, А₃₃, А₁₂, А₁₃, А₂₃), на их числен­ные значения, полученные по формулам.

Адекватность модели проверяется по расчетному критерию Фишера (Fp), который определяется по формулам

Fp=, (25)

где - сумма квадрата разности между средним значением опыта и полученным по уравнению;

N - число опытов;

n₀ – число опытов в центре плана;

р - число значимых коэффициентов модели;

По таблицам в зависимости от уровня значимости (q=0,05), числа степеней свободы f₁ = N – n₀ - р и числа степеней свободы f₂ = N*(n - 1), выбирают табличный критерий Фишера F_т. Если Fp < F_т, то полученная математическая модель адекватно описывает объект исследования. Если условие не выполняется, принимается одно из следующих решений: / 1, с. 224 /

-переходят к плану другого порядка;

-уменьшают диапазон варьирования факторов.