§ 3. Игры с природой

Игры с природой – это специальный класс матричных игр, в которых одним из участников является человек или группа лиц, объединённых общностью цели (игрок А), а другим – «природа» (игрок П).

Под термином «природа» понимается весь комплекс внешних условий, при которых игроку А приходится принимать решение. Природа безразлична к выигрышу и не стремится обратить в свою пользу промахи игрока А.

Игрок А может использовать стратегий , , … , , а природа может реализовать различных состояний , , … , . Игроку А могут быть известны вероятности , с которыми природа реализует свои состояния . Действуя против природы, игрок А может пользоваться как чистыми , так и смешанными стратегиями. Если он имеет возможность численно оценить (величиной ) последствия применения каждой своей стратегии при любом состоянии природы , то игру можно задать платёжной матрицей .

При упрощении платёжной матрицы игры с природой имеется своя специфика: отбрасывать те или иные состояния природы (стратегии игрока П) нельзя, так как она может реализовать любое состояние независимо от того, выгодно оно или нет.

При выборе оптимальной стратегии игрока А пользуются различными критериями. При этом опираются как на платёжную матрицу, так и на матрицу рисков.

Определение. Риском игрока А, когда он пользуется чистой стратегией при состоянии природы, называется разность между максимальным выигрышем , который он мог бы получить, если бы достоверно знал, что природой будет реализовано именно состояние , и тем выигрышем , который он получит, используя стратегию , не зная, какое же состояние природа реализует.

Таким образом, элементы матрицы рисков определяются по формуле ( – максимальный элемент -го столбца платёжной матрицы).

Если вероятности состояний природы известны, то для определения оптимальных стратегий пользуются критериями Байеса и Лапласа.

Критерий Байеса. В качестве оптимальной принимается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш () игрока А, то есть обеспечивается .

Критерий Лапласа. Если игроку А представляются в равной мере правдоподобными все состояния природы, то (), и оптимальной считается чистая стратегия , обеспечивающая .

Если вероятности состояний природы неизвестны, то пользуются критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Критерий Вальда. Оптимальной считается чистая стратегия , при которой наименьший выигрыш игрока А будет максимальным, т.е ему обеспечивается .

Для смешанных стратегий критерий Вальда формулируется так: оптимальной считается та смешанная стратегия , при которой минимальный средний выигрыш игрока А будет максимальным, то есть стратегия , найденная из условия .

Критерий Сэвиджа. Оптимальной считается та чистая стратегия , при которой минимизируется величина максимального риска, то есть обеспечивается .

Для смешанных стратегий критерий Сэвиджа формулируется так: оптимальной считается та смешанная стратегия , при которой максимальный средний риск игрока А будет минимальным, то есть стратегия , найденная из условия .

Критерий Гурвица. Оптимальной считается та чистая стратегия , найденная из условия , где число выбирается из субъективных соображений.

Анализ практических ситуаций проводится по нескольким критериям одновременно, что позволяет глубже исследовать суть явления и выбрать наиболее обоснованное решение.