2.3. Графический метод решения матричных игр без седловых точек

Для построения решений игр, в которых число стратегий хотя бы одного из игроков равно двум, существует достаточно эффективный метод, основанный на геометрических соображениях. Его называют графическим.

Будем предполагать, что в рассматриваемых играх нет седловой точки в чистых стратегиях.

2.3.1. -игры

Определение 23. Матричную игру, в которой число стратегий первого игрока равно двум, а число стратегий второго игрока равно , называется -игрой.

Платёжная матрица первого игрока -игры имеет вид . Обозначим:

– вероятность применения первым игроком стратегии ;

– вероятность применения первым игроком стратегии ;

– вероятность применения вторым игроком стратегии ;

– вероятность применения вторым игроком стратегии ; и т.д. …

– вероятность применения вторым игроком стратегии ;

, .

Поиск оптимальной смешанной стратегии первого игрока

Согласно теореме 3,

.

Тогда нахождение цены игры и оптимального вектора для игрока А равносильно решению уравнения .

Рассмотрим функцию . Это функция одной переменной с набором параметров . Следовательно, решение уравнения равносильно нахождению максимума функции на отрезке .

Формально для нахождения максимума функции на отрезке требуется

1) построить график функции на отрезке ;

2) найти координаты наивысшей точки построенного графика.

Для построения графика функции требуется построить всевозможные прямые , , а затем найти ломаную, состоящую из отрезков этих прямых, такую, что она расположена не выше каждой прямой. Такую ломаную называют нижней огибающей прямых , . Нижняя огибающая и будет являться графиком функции .

Замечание. С точки зрения теории игр построение нижней огибающей прямых , равносильно следующим рассуждениям. Предположим, что игрок А выбрал смешанную стратегию , а игрок В – -ю чистую стратегию , . Тогда средний выигрыш игрока А в ситуации оказывается равным . Это уравнение прямой на плоскости . Таким образом, каждой чистой стратегии игрока В на плоскости соответствует своя прямая. Все чистые стратегии игрока В описываются системой прямых , . Так как – минимальный средний выигрыш по всем чистым стратегиям игрока В, то нижняя огибающая семейства прямых , будет являться таким минимальным средним выигрышем. Цена игры (максимальный из всех минимальных средних выигрышей) будет являться наивысшей точкой нижней огибающей.

Для нахождения координат наивысшей точки нижней огибающей нужно выделить прямые, проходящие через эту точку, и решить систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых.

Практическое замечание. Уравнения семейства прямых , составляются по столбцам платёжной матрицы .

Поиск оптимальной смешанной стратегии второго игрока. В зависимости от формы нижней огибающей может представиться несколько случаев.

Случай 1. Нижняя огибающая имеет ровно одну наивысшую точку .

1) Если (игрок А выбрал чистую стратегию ), то игроку В выгодно применять чистую стратегию, соответствующую прямой, проходящей через точку и имеющей наименьший положительный наклон.

2) Если (игрок А выбрал чистую стратегию ), то игроку В выгодно применять чистую стратегию выгодно применять чистую стратегию, соответствующую прямой, проходящей через точку и имеющей наибольший отрицательный наклон.

3) Если , то в наивысшей точке нижней огибающей пересекаются по меньшей мере две прямые, одна из которых (например, -я) имеет положительный наклон, а другая (например, -я) – отрицательный. Это означает, что игроку В наиболее выгодно использовать смешанную стратегию, состоящую из стратегий и с вероятностями и соответственно. Оптимальную смешанную стратегия игрока В можно найти как решение системы уравнений

Геометрически решение этой системы уравнений соответствует нахождению нижней точки верхней огибающей семейства прямых , где .

Замечание. Верхней огибающей семейства прямых называют ломаную, состоящую из отрезков прямых этого семейства, расположенную не ниже каждой прямой.

С точки зрения теории игр и в соответствии с теоремой 3 нижняя точка верхней огибающей системы прямых является минимаксом для второго игрока:

.

Практическое замечание. Уравнения прямых

составляются по строкам матрицы , полученной из матрицы исключением невыгодных для второго игрока стратегий.

Случай 2. Нижняя огибающая имеет горизонтальный участок, соответствующий чистой стратегии игрока В, наиболее выгодной для него.

Пример 2.7 [2]. Найти решение -игры, заданной платёжной матрицей

.

Решение. 1) Найдём верхнюю и нижнюю цены игры:

, . Так как , то седловой точки в чистых стратегиях нет.

Обозначим: – вероятность применения первым игроком стратегии ;

– вероятность применения первым игроком стратегии ;

– вероятность применения вторым игроком стратегии ;

– вероятность применения вторым игроком стратегии ;

– вероятность применения вторым игроком стратегии ;

– вероятность применения вторым игроком стратегии ;

, .

2) Найдём оптимальную смешанную стратегию первого игрока.

А) Составим таблицу ожидаемых средних выигрышей первого игрока в зависимости от стратегий второго игрока () (уравнения составляют по столбцам платёжной матрицы).

Таблица 7.1.

Стратегии второго игрока	Ожидаемый выигрыш первого игрока	Уравнение прямой

Б) Построим полученные прямые при (см. рис. 7.1).

Напоминание. Прямую можно построить по двум точкам. В качестве точек удобно брать концы отрезка и значения на концах отрезка. Из рис. 7.1 видно, что нижняя огибающая данного семейства прямых образована прямыми и .

В) Найдём точку пересечения прямых и как решение системы уравнений Тогда , и, выражая , получим . Следовательно, .

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия первого игрока заключается в равновероятном применении стратегий и : .

Г) Найдём цену игры. Для этого подставим вектор любое из уравнений и , например, в . Тогда цена игры (максимальный гарантированный выигрыш первого игрока).

3) Найдём оптимальную смешанную стратегию второго игрока.

А) Найдём выгодные стратегии второго игрока. Через точку максимина первого игрока проходят три прямые: , и , соответствующими стратегиям , и второго игрока (см. табл. 7.1). Следовательно, стратегии , и будут более выгодными для второго игрока по сравнению со стратегией .

Для того, чтобы найти оптимальную смешанную стратегию второго игрока графическим методом, нужно выбрать из стратегий , и две наиболее выгодных. В этом случае более выгодными для второго игрока являются стратегии и , так как именно они определяют значение минимакса (см. п. 1) поиск нижней цены игры).

Б) Найдём упрощённую платёжную матрицу. Исключим из платёжной матрицы невыгодные стратегии и (соответственно, вычеркнем первый и четвёртый столбцы, соответствующие вероятности ). Получим упрощённую платёжную матрицу .

В) Составим таблицу ожидаемых средних проигрышей второго игрока () (уравнения составляют по строкам упрощённой платёжной матрицы):

Стратегии первого игрока	Ожидаемый проигрыш второго игрока	Уравнение прямой

Г) Построим прямые и (см. рис. 7.2).

Д) Найдём точку пересечения прямых и из уравнения . Тогда , .

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия второго игрока имеет вид и заключается в равновероятном применении чистых стратегий и .

Ответ: смешанные стратегии первого игрока , смешанные стратегии второго игрока , цена игры .

2.3.2. -игры

Определение 24. Матричную игру, в которой число стратегий первого игрока равно , а число стратегий второго игрока равно двум, называется -игрой.

Платёжная матрица -игры имеет вид .

Графическое решение -игры во многом аналогично графическому решению -игры, но проходит в другой последовательности.

1) Находят оптимальные стратегии второго игрока. Для этого:

А) выписывают уравнения для ожидаемых средних проигрышей второго игрока (уравнения составляют для переменных и по строкам платёжной матрицы при условии );

Б) строят семейство прямых, соответствующих уравнениям средних проигрышей второго игрока;

В) строят верхнюю огибающую построенного семейства;

Г) выделяют низшую точку верхней огибающей, прямые, проходящие через эту точку, и находят координаты низшей точки верхней огибающей (минимакс второго игрока);

Д) находят оптимальную смешанную стратегию второго игрока из соотношения ; находят цену игры, подставляя оптимальную смешанную стратегию второго игрока в уравнение любой прямой, проходящей через минимакс.

2) Находят оптимальную смешанную стратегию первого игрока. Для этого:

А) исходя из уравнений прямых, проходящих через минимакс второго игрока, и соответствующих им стратегий, выделяют две наиболее выгодные стратегии первого игрока;

Б) для выделенных стратегий составляют упрощённую платёжную матрицу;

В) по упрощённой матрице составляют уравнения ожидаемых средних выигрышей первого игрока; строят прямые, соответствующие уравнениям ожидаемых средних выигрышей первого игрока, и их нижнюю огибающую;

Г) находят оптимальную смешанную стратегию первого игрока как точку пересечения прямых ожидаемых средних выигрышей первого игрока (верхнюю точку нижней огибающей).

Определение 25. Матричную игру, заданную платёжной матрицей размерности называют -игрой.

Замечание. Если матричную игру можно свести к игре или , то её всегда можно решить графическим методом.